Чтобы определить угол между плоскостями (ВА1С) и (АВС) в правильной призме АВСА1В1С1, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте подробно разберем процесс.

• Пусть точка A имеет координаты (0, 0, 0).
• Точка B будет (6√3, 0, 0), так как АВ = 6√3 см.
• Точка C, находящаяся на плоскости, будет (6√3, 6, 0), если мы предположим, что основание ABC - это равносторонний треугольник с высотой 6 см.
• Точки A1, B1 и C1 будут находиться на высоте 9 см, т.е. A1(0, 0, 9), B1(6√3, 0, 9), C1(6√3, 6, 9).

Теперь нам нужно найти векторы, которые будут нормалями к плоскостям (ВА1С) и (АВС).

• Для плоскости (АВС) мы можем взять векторы AB и AC:
  • AB = B - A = (6√3, 0, 0) - (0, 0, 0) = (6√3, 0, 0)
  • AC = C - A = (6√3, 6, 0) - (0, 0, 0) = (6√3, 6, 0)
• Теперь находим векторное произведение AB и AC, чтобы получить нормаль к плоскости (АВС):
  • N1 = AB x AC = (6√3, 0, 0) x (6√3, 6, 0) = (0, 0, 36√3)
• Теперь найдем нормаль к плоскости (ВА1С):
  • Векторы BA1 и BC:
    • BA1 = A1 - B = (0, 0, 9) - (6√3, 0, 0) = (-6√3, 0, 9)
    • BC = C - B = (6√3, 6, 0) - (6√3, 0, 0) = (0, 6, 0)
  • Нормаль к плоскости (ВА1С):
    • N2 = BA1 x BC = (-6√3, 0, 9) x (0, 6, 0) = (54, 0, 36√3)

Теперь, когда у нас есть нормали N1 и N2, мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:

cos(θ) = (N1 · N2) / (|N1| * |N2|), где "·" - скалярное произведение, а "|" - модуль вектора.

• Сначала находим скалярное произведение N1 и N2:
  • N1 · N2 = (0, 0, 36√3) · (54, 0, 36√3) = 0 * 54 + 0 * 0 + 36√3 * 36√3 = 3888.
• Теперь найдем модуль векторов N1 и N2:
  • |N1| = sqrt(0^2 + 0^2 + (36√3)^2) = 36√3.
  • |N2| = sqrt(54^2 + 0^2 + (36√3)^2) = sqrt(2916 + 3888) = sqrt(6804).

Теперь подставим все значения в формулу для нахождения угла:

cos(θ) = 3888 / (36√3 * sqrt(6804)).

Теперь можно найти угол θ, используя арккосинус:

θ = arccos(cos(θ)).

Таким образом, мы можем определить угол между плоскостями (ВА1С) и (АВС). Не забудьте выполнить вычисления, чтобы получить численное значение угла.