2024-11-18 19:42:49
Вопрос: Очень срочно!!! Найдите интеграл, используя метод интегрирования по частям: ∫(5x+12)sin(x/3)dx.
Математика 11 класс Интегрирование по частям интеграл интегрирование по частям математика 11 класс ∫(5x+12)sin(x/3)dx решение интеграла методы интегрирования математические задачи школьная математика подготовка к экзаменам интегралы
2024-12-15 06:24:06
Давайте решим интеграл ∫(5x + 12)sin(x/3)dx, используя метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле:
∫u dv = uv - ∫v du
Где:
- u - функция, которую мы выбираем для дифференцирования;
- dv - функция, которую мы выбираем для интегрирования.
Теперь давайте выберем:
- u = 5x + 12, тогда du = 5dx;
- dv = sin(x/3)dx, тогда v = -3cos(x/3) (мы интегрируем sin(x/3) и используем правило интегрирования для тригонометрических функций).
Теперь подставим эти значения в формулу интегрирования по частям:
∫(5x + 12)sin(x/3)dx = (5x + 12)(-3cos(x/3)) - ∫(-3cos(x/3))(5dx)
Упростим это выражение:
∫(5x + 12)sin(x/3)dx = -3(5x + 12)cos(x/3) + 15∫cos(x/3)dx
Теперь нам нужно решить интеграл ∫cos(x/3)dx. Интегрируем его:
∫cos(x/3)dx = 3sin(x/3) + C (где C - произвольная константа интегрирования).
Теперь подставим этот результат обратно в наше выражение:
∫(5x + 12)sin(x/3)dx = -3(5x + 12)cos(x/3) + 15(3sin(x/3)) + C
Упростим окончательно:
∫(5x + 12)sin(x/3)dx = -3(5x + 12)cos(x/3) + 45sin(x/3) + C
Итак, окончательный ответ:
∫(5x + 12)sin(x/3)dx = -3(5x + 12)cos(x/3) + 45sin(x/3) + C
