Вопрос: Очень срочно!!! Найдите интеграл, используя метод интегрирования по частям: ∫(5x+12)sin(x/3)dx.

Математика 11 класс Интегрирование по частям интеграл интегрирование по частям математика 11 класс ∫(5x+12)sin(x/3)dx решение интеграла методы интегрирования математические задачи школьная математика подготовка к экзаменам интегралы Новый

Давайте решим интеграл ∫(5x + 12)sin(x/3)dx, используя метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле:

∫u dv = uv - ∫v du

Где:

• u - функция, которую мы выбираем для дифференцирования;
• dv - функция, которую мы выбираем для интегрирования.

Теперь давайте выберем:

• u = 5x + 12, тогда du = 5dx;
• dv = sin(x/3)dx, тогда v = -3cos(x/3) (мы интегрируем sin(x/3) и используем правило интегрирования для тригонометрических функций).

Теперь подставим эти значения в формулу интегрирования по частям:

∫(5x + 12)sin(x/3)dx = (5x + 12)(-3cos(x/3)) - ∫(-3cos(x/3))(5dx)

Упростим это выражение:

∫(5x + 12)sin(x/3)dx = -3(5x + 12)cos(x/3) + 15∫cos(x/3)dx

Теперь нам нужно решить интеграл ∫cos(x/3)dx. Интегрируем его:

∫cos(x/3)dx = 3sin(x/3) + C (где C - произвольная константа интегрирования).

Теперь подставим этот результат обратно в наше выражение:

∫(5x + 12)sin(x/3)dx = -3(5x + 12)cos(x/3) + 15(3sin(x/3)) + C

Упростим окончательно:

∫(5x + 12)sin(x/3)dx = -3(5x + 12)cos(x/3) + 45sin(x/3) + C

Итак, окончательный ответ:

∫(5x + 12)sin(x/3)dx = -3(5x + 12)cos(x/3) + 45sin(x/3) + C