Вопрос по математике: Какое значение имеет выражение: квадратный корень из 108, умноженный на cos^2 13π/12, минус квадратный корень из 27?

Математика 11 класс Алгебраические выражения и тригонометрия математика квадратный корень cos^2 значение выражения 108 27 Тригонометрия математическая задача Новый

Чтобы найти значение выражения: квадратный корень из 108, умноженный на cos^2(13π/12), минус квадратный корень из 27, давайте разберем его по шагам.

1. Вычислим квадратный корень из 108:
   • Квадратный корень из 108 можно упростить. 108 = 36 * 3, где 36 - это полный квадрат.
   • Следовательно, корень из 108 равен корню из 36, умноженному на корень из 3:
   • √108 = √(36 * 3) = √36 * √3 = 6√3.
2. Вычислим cos^2(13π/12):
   • Угол 13π/12 находится во втором квадранте, и его косинус отрицательный.
   • cos(13π/12) = cos(π + π/12) = -cos(π/12).
   • Теперь найдем cos(π/12). Для этого используем формулу: cos(π/12) = √((1 + cos(π/6))/2), где cos(π/6) = √3/2.
   • Подставим значение: cos(π/12) = √((1 + √3/2)/2) = √((2 + √3)/4) = (√(2 + √3))/2.
   • Теперь находим cos^2(13π/12):
   • cos^2(13π/12) = (-cos(π/12))^2 = (√(2 + √3)/2)^2 = (2 + √3)/4.
3. Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
   • Выражение становится: 6√3 * (2 + √3)/4 - √27.
   • Упростим: 6√3 * (2 + √3)/4 = (6√3 * (2 + √3))/4 = (3√3 * (2 + √3))/2.
   • Теперь вычислим √27: √27 = √(9 * 3) = 3√3.
4. Подставим все в выражение:
   • (3√3 * (2 + √3))/2 - 3√3.
   • Чтобы вычесть 3√3, приведем к общему знаменателю: 3√3 = (6√3)/2.
   • Теперь выражение будет: (3√3 * (2 + √3))/2 - (6√3)/2 = (3√3 * (2 + √3) - 6√3)/2.
   • Раскроем скобки: 3√3 * 2 + 3√3 * √3 - 6√3 = 6√3 + 3 * 3 - 6√3 = 9.

Таким образом, окончательное значение выражения равно 9.