Вопрос: Пользуясь определением (по алгоритму: 1) Найдите область определения и выясните, является ли функция непрерывной. 2) y`(x) - найдите производную. 3) Решите уравнение y`(x)=0. 4) Постройте диаграмму производной y`(x). 5) Определите монотонность функции, используя признаки возрастания, убывания функции.), найдите производную функции:

f(x)=7x^4-5x^3-x+25

Математика 11 класс Производные и монотонность функций математика область определения непрерывность функции производная уравнение диаграмма производной монотонность функции признаки возрастания признаки убывания f(x)=7x^4-5x^3-x+25 Новый

1. Область определения и непрерывность функции

Функция f(x) = 7x^4 - 5x^3 - x + 25 является многочленом. Область определения многочлена включает все действительные числа, то есть:

• Область определения: D(f) = R (все действительные числа).

Многочлены являются непрерывными функциями на всей своей области определения. Таким образом, функция f(x) непрерывна на R.

2. Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции f(x) будем использовать правило дифференцирования многочленов. Производная многочлена определяется как сумма производных его членов:

• Производная 7x^4: 7 * 4x^(4-1) = 28x^3.
• Производная -5x^3: -5 * 3x^(3-1) = -15x^2.
• Производная -x: -1.
• Производная 25: 0 (константа).

Таким образом, производная функции f(x) равна:

f'(x) = 28x^3 - 15x^2 - 1.

3. Решение уравнения y'(x) = 0

Теперь решим уравнение f'(x) = 0:

28x^3 - 15x^2 - 1 = 0.

Это кубическое уравнение, которое может быть решено различными методами, например, методом подбора, графически или с использованием численных методов. Здесь мы можем воспользоваться численным методом или графическим методом для нахождения корней уравнения.

4. Построение диаграммы производной y'(x)

Для построения диаграммы производной f'(x) = 28x^3 - 15x^2 - 1, необходимо определить, в каких точках производная равна нулю и как она изменяется на промежутках между корнями. Это позволит определить интервалы возрастания и убывания функции. На графике можно отметить точки, где f'(x) меняет знак.

5. Определение монотонности функции

Для определения монотонности функции f(x) на основе производной f'(x), необходимо проанализировать знаки производной на интервалах, определенных корнями уравнения f'(x) = 0:

• Если f'(x) > 0 на интервале, то функция f(x) возрастает на этом интервале.
• Если f'(x) < 0 на интервале, то функция f(x) убывает на этом интервале.

После нахождения корней и анализа знаков производной можно будет определить, на каких интервалах функция возрастает, а на каких убывает.