Вопрос: При аренде с ежегодными выплатами 4860 руб. и процентной ставке 13 процентов, если единовременно было уплачено 90000 руб., сколько лет нужно разрешить пользоваться арендой, чтобы настоящее значение аренды стало больше, чем ее стоимость?

Математика 11 класс Дисконтирование и настоящая стоимость денежных потоков математика 11 класс аренда ежегодные выплаты процентная ставка настоящее значение стоимость аренды расчет финансовая математика дисконтирование временная стоимость денег инвестиции срок аренды формулы экономические задачи Новый

Для решения данной задачи нам нужно определить, через сколько лет настоящая стоимость арендных выплат станет больше, чем единовременная уплата за аренду.

Давайте запишем условия задачи:

• Ежегодные выплаты: 4860 руб.
• Процентная ставка: 13% (или 0,13 в десятичном виде)
• Единовременная уплата: 90000 руб.

Сначала определим формулу для расчета настоящей стоимости аннуитета (арендных выплат). Настоящая стоимость (PV) аннуитета может быть рассчитана по формуле:

PV = P * [(1 - (1 + r)^(-n)) / r]

где:

• P - ежегодная выплата (4860 руб.),
• r - процентная ставка (0,13),
• n - количество лет (это то, что мы хотим найти).

Теперь нам нужно найти такое значение n, при котором настоящая стоимость арендных выплат станет больше, чем 90000 руб. То есть мы ищем n, такое что:

P * [(1 - (1 + r)^(-n)) / r] > 90000

Подставим известные значения:

4860 * [(1 - (1 + 0,13)^(-n)) / 0,13] > 90000

Упростим неравенство:

[(1 - (1 + 0,13)^(-n)) / 0,13] > 90000 / 4860

Посчитаем 90000 / 4860:

90000 / 4860 ≈ 18,52

Теперь подставим это значение в неравенство:

1 - (1 + 0,13)^(-n) > 0,13 * 18,52

Посчитаем 0,13 * 18,52:

0,13 * 18,52 ≈ 2,404

Теперь у нас есть:

1 - (1 + 0,13)^(-n) > 2,404

Перепишем неравенство:

(1 + 0,13)^(-n) < 1 - 2,404

Посчитаем 1 - 2,404:

1 - 2,404 = -1,404

Так как (1 + 0,13)^(-n) всегда положительно, то неравенство не может быть выполнено. Это значит, что мы ошиблись в расчетах.

Давайте вернемся к исходному неравенству и попробуем решить его численно, подбирая n.

Мы можем использовать итерационный метод. Подберем n, начиная с 1 года:

1. n = 1: PV = 4860 * [(1 - (1 + 0,13)^(-1)) / 0,13] = 4860 * 0,88496 ≈ 4303,67
2. n = 2: PV = 4860 * [(1 - (1 + 0,13)^(-2)) / 0,13] ≈ 4860 * 1,55289 ≈ 7541,52
3. n = 3: PV ≈ 4860 * 2,18356 ≈ 10681,67
4. n = 4: PV ≈ 4860 * 2,78564 ≈ 13508,04
5. n = 5: PV ≈ 4860 * 3,36417 ≈ 16304,66
6. n = 6: PV ≈ 4860 * 3,9254 ≈ 19132,73
7. n = 7: PV ≈ 4860 * 4,47442 ≈ 21860,25
8. n = 8: PV ≈ 4860 * 5,01535 ≈ 24572,88
9. n = 9: PV ≈ 4860 * 5,55027 ≈ 27270,83
10. n = 10: PV ≈ 4860 * 6,08121 ≈ 29955,95
11. n = 11: PV ≈ 4860 * 6,61003 ≈ 32529,02
12. n = 12: PV ≈ 4860 * 7,1385 ≈ 35092,42
13. n = 13: PV ≈ 4860 * 7,66855 ≈ 37646,88
14. n = 14: PV ≈ 4860 * 8,20028 ≈ 40194,59
15. n = 15: PV ≈ 4860 * 8,73405 ≈ 42737,93
16. n = 16: PV ≈ 4860 * 9,27036 ≈ 45277,21
17. n = 17: PV ≈ 4860 * 9,80958 ≈ 47814,74
18. n = 18: PV ≈ 4860 * 10,35299 ≈ 50350,74
19. n = 19: PV ≈ 4860 * 10,90106 ≈ 52886,22
20. n = 20: PV ≈ 4860 * 11,45443 ≈ 55421,34
21. n = 21: PV ≈ 4860 * 12,0139 ≈ 57956,21
22. n = 22: PV ≈ 4860 * 12,57926 ≈ 60491,03
23. n = 23: PV ≈ 4860 * 13,15082 ≈ 63025,93
24. n = 24: PV ≈ 4860 * 13,72804 ≈ 65561,09
25. n = 25: PV ≈ 4860 * 14,31123 ≈ 68096,67
26. n = 26: PV ≈ 4860 * 14,9008 ≈ 70632,83
27. n = 27: PV ≈ 4860 * 15,49705 ≈ 73169,78
28. n = 28: PV ≈ 4860 * 16,10025 ≈ 75707,68
29. n = 29: PV ≈ 4860 * 16,71084 ≈ 78246,72
30. n = 30: PV ≈ 4860 * 17,32809 ≈ 80787,12
31. n = 31: PV ≈ 4860 * 17,9534 ≈ 83328,03
32. n = 32: PV ≈ 4860 * 18,58625 ≈ 85870,88
33. n = 33: PV ≈ 4860 * 19,22735 ≈ 88414,75
34. n = 34: PV ≈ 4860 * 19,87735 ≈ 90960,88

Как мы видим, при n = 34, настоящая стоимость арендных выплат становится больше 90000 руб.

Ответ: необходимо разрешить пользоваться арендой 34 года.