Вопрос: Смешав 40-процентный и 90-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 40-процентного раствора использовали для получения смеси?

Математика 11 класс Системы уравнений 40-процентный раствор 90-процентный раствор 62-процентный раствор 72-процентный раствор смешивание растворов задача на смеси концентрация кислоты математическая задача решение задач по математике 11 класс математика Новый

Давайте обозначим количество 40-процентного раствора как x кг, а количество 90-процентного раствора как y кг.

Сначала запишем уравнения для двух случаев, которые описаны в задаче.

Случай 1: Добавление 10 кг чистой воды

Общее количество раствора будет составлять x + y + 10 кг. Содержимое кислоты в растворе можно выразить следующим образом:

• Кислота из 40-процентного раствора: 0.4x
• Кислота из 90-процентного раствора: 0.9y
• Общее количество кислоты: 0.4x + 0.9y

Теперь, учитывая, что полученный раствор имеет концентрацию 62%, мы можем записать следующее уравнение:

(0.4x + 0.9y) / (x + y + 10) = 0.62

Случай 2: Добавление 10 кг 50-процентного раствора

Теперь общее количество раствора будет x + y + 10 кг, а содержание кислоты будет следующим:

• Кислота из 40-процентного раствора: 0.4x
• Кислота из 90-процентного раствора: 0.9y
• Кислота из 50-процентного раствора: 0.5 * 10 = 5 кг
• Общее количество кислоты: 0.4x + 0.9y + 5

С учетом 72% концентрации раствора, мы можем записать следующее уравнение:

(0.4x + 0.9y + 5) / (x + y + 10) = 0.72

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. (0.4x + 0.9y) = 0.62(x + y + 10)
2. (0.4x + 0.9y + 5) = 0.72(x + y + 10)

Решим первое уравнение:

0.4x + 0.9y = 0.62x + 0.62y + 6.2

Переносим все переменные в одну сторону:

0.4x - 0.62x + 0.9y - 0.62y = 6.2

-0.22x + 0.28y = 6.2

Умножим на -100, чтобы избавиться от дробей:

22x - 28y = -620

Упростим уравнение:

11x - 14y = -310 (1)

Теперь решим второе уравнение:

0.4x + 0.9y + 5 = 0.72x + 0.72y + 7.2

Переносим все переменные в одну сторону:

0.4x - 0.72x + 0.9y - 0.72y = 7.2 - 5

-0.32x + 0.18y = 2.2

Умножим на -100:

32x - 18y = -220

Упростим уравнение:

16x - 9y = -110 (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 11x - 14y = -310
2. 16x - 9y = -110

Решим эту систему методом подстановки или методом сложения. Выразим y из первого уравнения:

14y = 11x + 310

y = (11x + 310) / 14

Подставим y во второе уравнение:

16x - 9((11x + 310) / 14) = -110

Умножим на 14, чтобы избавиться от дробей:

224x - 9(11x + 310) = -1540

224x - 99x - 2790 = -1540

125x = 1250

x = 10

Теперь подставим значение x в первое уравнение, чтобы найти y:

11(10) - 14y = -310

110 - 14y = -310

-14y = -310 - 110

-14y = -420

y = 30

Итак, мы нашли, что:

• x = 10 кг (40-процентный раствор)
• y = 30 кг (90-процентный раствор)

Таким образом, количество 40-процентного раствора, использованного для получения смеси, составляет 10 кг.