Вопрос: Точка М — середина основания AD трапеции. Отрезок BM пересекается с диагональю AC в точке K, а отрезок CM пересекается с диагональю BD в точке T. Прямая KT пересекает боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Докажите, что EF||AD. Докажите, что EK=KT=TF. Найдите длину EF, если BC=3, AD=14.

Математика 11 класс Параллельные прямые и свойства трапеции трапеция середина основания отрезок диагональ пересечение боковые стороны доказательство параллельные линии длина отрезка математическая задача 11 класс геометрия свойства трапеции треугольники подобие треугольников расчет длины математический анализ Новый

Давайте разберем данную задачу шаг за шагом.

Мы имеем трапецию ABCD, где AD || BC, и точка M является серединой основания AD. Отрезок BM пересекает диагональ AC в точке K, а отрезок CM пересекает диагональ BD в точке T. Нам нужно доказать, что EF || AD, а также, что EK = KT = TF, и найти длину отрезка EF, если BC = 3 и AD = 14.

Шаг 1: Доказательство, что EF || AD

Для начала, рассмотрим треугольники ABM и DCM. Поскольку M — середина AD, то AM = MD. Также, так как AD || BC, то углы BAM и DCM равны (по признаку равенства углов при параллельных прямых). Это значит, что треугольники ABM и DCM подобны по двум углам.

• Из подобия треугольников следует, что:
• AB / AD = BM / DM
• DC / AD = CM / AM

Теперь, если мы проведем прямую KT, то, по свойству подобия треугольников, мы можем заключить, что отрезок EF будет параллелен основанию AD, так как KT пересекает обе стороны AB и CD.

Шаг 2: Доказательство, что EK = KT = TF

Так как мы уже установили, что EF || AD, и у нас есть параллельные линии, мы можем использовать свойства подобия. Обозначим длины отрезков:

• EK = x
• KT = x
• TF = x

Согласно свойству параллельных линий, отрезки, которые пересекаются двумя параллельными прямыми, пропорциональны. Таким образом, мы можем записать:

• EK / AB = KT / AD = TF / DC

Так как AB и DC являются сторонами трапеции и параллельны, то EK = KT = TF.

Шаг 3: Нахождение длины EF

Теперь давайте найдем длину отрезка EF. Мы знаем, что EF является отрезком, который соединяет точки на боковых сторонах AB и CD, и его длина будет равна:

• EF = EK + KT + TF = x + x + x = 3x

Теперь, используя соотношение между сторонами трапеции:

• AD = 14
• BC = 3

Мы можем воспользоваться формулой для длины отрезка EF, учитывая, что EF является средним отрезком трапеции:

EF = (AD + BC) / 2 = (14 + 3) / 2 = 17 / 2 = 8.5.

Таким образом, длина отрезка EF равна 8.5.

Ответ: EF || AD, EK = KT = TF, длина EF = 8.5.