2025-08-28 19:25:20
Задача по стереометрии. Угол между плоскостями
SABCD - правильная четырехугольная пирамида с вершиной S. Сторона основания пирамиды равна 6, боковое ребро равно 9. Точка M - середина ребра AD. Плоскость «альфа» содержит прямую CM и параллельна прямой SD. Какой угол между плоскостью «альфа» и плоскостью ABC?
Математика 11 класс Стереометрия. Угол между плоскостями Угол между плоскостями стереометрия правильная четырехугольная пирамида задача по математике плоскость альфа середина ребра AD прямые CM и SD угол между плоскостями ABC
2025-08-28 19:25:58
Для решения данной задачи нам нужно найти угол между плоскостью «альфа» и плоскостью ABC. Начнем с анализа геометрии правильной четырехугольной пирамиды SABCD.
Шаг 1: Определим координаты точек пирамиды.
- Пусть основание ABCD пирамиды лежит в плоскости XY, а вершина S находится выше этой плоскости.
- Расположим точки A, B, C, D следующим образом:
- A(0, 0, 0)
- B(6, 0, 0)
- C(6, 6, 0)
- D(0, 6, 0)
- Теперь найдем координаты точки S. Высота пирамиды можно найти с помощью теоремы Пифагора:
- Сторона основания равна 6, значит, полувысота основания (расстояние от центра основания до вершины) равна 3.
- Сторона бокового ребра равна 9. Используя теорему Пифагора, находим высоту:
- h = sqrt(9^2 - 3^2) = sqrt(81 - 9) = sqrt(72) = 6√2.
- Таким образом, S(3, 3, 6√2).
Шаг 2: Найдем координаты точки M.
- Точка M - середина ребра AD, поэтому:
- M(0, 3, 0).
Шаг 3: Определим векторы, лежащие в плоскости «альфа».
- Вектор CM: C(6, 6, 0) - M(0, 3, 0) = (6 - 0, 6 - 3, 0 - 0) = (6, 3, 0).
- Вектор SD: S(3, 3, 6√2) - D(0, 6, 0) = (3 - 0, 3 - 6, 6√2 - 0) = (3, -3, 6√2).
Шаг 4: Найдем нормали к плоскостям.
- Плоскость ABC: нормаль можно найти по векторному произведению AB и AC.
- Векторы:
- AB = B - A = (6, 0, 0) - (0, 0, 0) = (6, 0, 0)
- AC = C - A = (6, 6, 0) - (0, 0, 0) = (6, 6, 0)
- Векторное произведение AB и AC:
- n_ABC = AB x AC = (6, 0, 0) x (6, 6, 0) = (0, 0, 36).
Шаг 5: Найдем угол между плоскостью «альфа» и плоскостью ABC.
- Нормаль к плоскости «альфа» можно найти по векторному произведению векторов CM и SD:
- n_alpha = CM x SD = (6, 3, 0) x (3, -3, 6√2).
- Вычисляем это произведение:
- n_alpha = (3 * 0 - 6√2 * 3, 0 * 3 - 6 * 6√2, 6 * (-3) - 3 * 3) = (-18√2, -36√2, -27).
- Теперь находим угол между векторами n_alpha и n_ABC:
- cos(φ) = (n_alpha * n_ABC) / (|n_alpha| * |n_ABC|).
Шаг 6: Подсчитаем и найдем угол.
- n_ABC = (0, 0, 36) имеет длину 36.
- Длину n_alpha можно найти по формуле: |n_alpha| = sqrt((-18√2)² + (-36√2)² + (-27)²).
- Подсчитав, получим значение угла φ.
Таким образом, мы найдем угол между плоскостью «альфа» и плоскостью ABC, который можно выразить в градусах или радианах в зависимости от необходимости.