Кузнечик начал свое путешествие из дома на клетчатой плоскости. Он прыгнул на одну клетку, затем на две, повернул направо, прыгнул на три, потом на четыре клетки, снова повернулся направо и так далее. После каждых двух прыжков он поворачивал направо, а...
Кузнечик начал свое путешествие из дома на клетчатой плоскости. Он прыгнул на одну клетку, затем на две, повернул направо, прыгнул на три, потом на четыре клетки, снова повернулся направо и так далее. После каждых двух прыжков он поворачивал направо, а каждый следующий прыжок был длиннее предыдущего на одну клетку. После своего тысячного прыжка он еще раз повернулся (направо или налево), прыгнул, снова повернулся, снова прыгнул и вернулся в свою первоначальную клетку. Сколько клеток он прыгнул в последние два раза?
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
1. **Понимание движения Кузнечика**: Кузнечик начинает с точки (0, 0) на клетчатой плоскости. Он прыгает, увеличивая длину каждого следующего прыжка на одну клетку. После каждых двух прыжков он поворачивает направо.
2. **Порядок прыжков**:
- Первый прыжок: 1 клетка
- Второй прыжок: 2 клетки
- Поворот направо
- Третий прыжок: 3 клетки
- Четвертый прыжок: 4 клетки
- Поворот направо
- Пятый прыжок: 5 клеток
- И так далее...
3. **Общее количество прыжков**: Кузнечик делает 1000 прыжков. Количество клеток, которые он пропрыгал за все время, можно найти, суммируя длины всех прыжков от 1 до 1000. Это можно сделать по формуле суммы первых n натуральных чисел: S = n(n + 1) / 2. В нашем случае n = 1000.
4. **Сумма прыжков**:
- S = 1000 * (1000 + 1) / 2 = 1000 * 1001 / 2 = 500500 клеток.
5. **Повороты и последние прыжки**: После 1000-го прыжка Кузнечик делает еще два прыжка и повороты. Давайте обозначим длины последних двух прыжков как x и y.
6. **Возврат в исходную точку**: После 1000-го прыжка Кузнечик должен вернуться в свою первоначальную клетку. Это означает, что сумма всех его перемещений по координатам (x, y) должна быть равна нулю.
7. **Проблема с определением x и y**: Кузнечик после 1000-го прыжка делает еще два прыжка. Если мы учтем, что каждый следующий прыжок на одну клетку длиннее предыдущего, то длины последних двух прыжков будут 1001 и 1002.
8. **Итак, ответ на вопрос**: Кузнечик прыгнул 1001 и 1002 клетки в последние два раза.
Таким образом, количество клеток, которые Кузнечик прыгнул в последние два раза, составляет 1001 и 1002.