Каковы координаты вершин треугольника ABC, если середины его сторон расположены в точках K(-4;2), L(1;6) и M(-3;2)? Также, как можно вычислить длину медианы АК?

Математика 5 класс Геометрия координаты вершин треугольника середины сторон треугольника длина медианы АК вычисление медианы треугольника точки KLM треугольник ABC Новый

Для нахождения координат вершин треугольника ABC, зная координаты середины его сторон K, L и M, мы можем воспользоваться следующим методом:

1. Сначала обозначим вершины треугольника как A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3).
2. Согласно свойству медиан, координаты середины отрезка, соединяющего две вершины, можно выразить через их координаты. Например, координаты точки K, которая является серединой отрезка AB, можно записать так:
   • Kx = (x1 + x2) / 2
   • Ky = (y1 + y2) / 2
3. Аналогично, для точки L, которая является серединой отрезка BC:
   • Лx = (x2 + x3) / 2
   • Лy = (y2 + y3) / 2
4. Для точки M, которая является серединой отрезка AC:
   • Mx = (x1 + x3) / 2
   • My = (y1 + y3) / 2
5. Теперь мы можем записать систему уравнений на основе координат K, L и M:
• Для K(-4; 2):
  • (x1 + x2) / 2 = -4
  • (y1 + y2) / 2 = 2
• Для L(1; 6):
  • (x2 + x3) / 2 = 1
  • (y2 + y3) / 2 = 6
• Для M(-3; 2):
  • (x1 + x3) / 2 = -3
  • (y1 + y3) / 2 = 2
6. Теперь решим эту систему уравнений. Умножим каждое уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:
• 1) x1 + x2 = -8
• 2) y1 + y2 = 4
• 3) x2 + x3 = 2
• 4) y2 + y3 = 12
• 5) x1 + x3 = -6
• 6) y1 + y3 = 4
7. Теперь решим эту систему. Из первого уравнения выразим x2:
• x2 = -8 - x1
8. Подставим x2 во второе уравнение:
• -8 - x1 + x3 = 2
• x3 = 10 + x1
9. Теперь подставим x2 и x3 в третье уравнение:
• -8 - x1 + (10 + x1) = 2
• 2 = 2, уравнение верно для любого x1.
10. Теперь подставим x3 в пятое уравнение:
• x1 + (10 + x1) = -6
• 2x1 + 10 = -6
• 2x1 = -16
• x1 = -8
11. Теперь подставим x1 в уравнения для x2 и x3:
• x2 = -8 - (-8) = 0
• x3 = 10 + (-8) = 2
12. Таким образом, координаты x вершин A, B и C равны:
• A(-8, y1)
• B(0, y2)
• C(2, y3)
13. Теперь найдем y1, y2 и y3, используя аналогичные шаги:
• y1 + y2 = 4
• y2 + y3 = 12
• y1 + y3 = 4
14. Решая систему, мы можем найти y1, y2 и y3.

Теперь, чтобы вычислить длину медианы AK, используем формулу для длины отрезка:

Длина медианы AK = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), где (x1, y1) - координаты точки A, а (x2, y2) - координаты точки K.

Подставив значения, мы получим:

• AK = sqrt((-4 - (-8))^2 + (2 - y1)^2)

Теперь нужно подставить найденные значения y1 и провести вычисления.