Сумма первых четырех слагаемых геометрической последовательности равна 20, а сумма следующих четырех слагаемых равна 320. Как можно вычислить сумму первых двенадцати слагаемых?

Математика 5 класс Геометрическая последовательность геометрическая последовательность сумма слагаемых математика 5 класс решение задач учебник математики Арифметические операции последовательности и серии Новый

Чтобы найти сумму первых двенадцати слагаемых геометрической последовательности, давайте сначала обозначим первое слагаемое последовательности как a, а знаменатель прогрессии как q.

Сумма первых четырех слагаемых геометрической последовательности вычисляется по формуле:

• S4 = a + aq + aq^2 + aq^3 = a(1 + q + q^2 + q^3).

Эта сумма равна 20, то есть:

• S4 = a(1 + q + q^2 + q^3) = 20.

Теперь рассмотрим сумму следующих четырех слагаемых (пятый, шестой, седьмой и восьмой). Она равна:

• S4' = aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7 = aq^4(1 + q + q^2 + q^3).

Мы знаем, что эта сумма равна 320, то есть:

• S4' = aq^4(1 + q + q^2 + q^3) = 320.

Теперь мы можем выразить S4' через S4:

• S4' = q^4 * S4.

Подставим известные значения:

• q^4 * 20 = 320.

Теперь решим это уравнение:

• q^4 = 320 / 20 = 16.
• q = 2.

Теперь, зная q, можем найти a. Подставим значение q в первое уравнение:

• a(1 + 2 + 4 + 8) = 20.
• a(15) = 20.
• a = 20 / 15 = 4/3.

Теперь у нас есть первое слагаемое a и знаменатель q. Мы можем найти сумму первых двенадцати слагаемых:

• S12 = a(1 + q + q^2 + ... + q^11) = a * (1 - q^12) / (1 - q).

Подставим наши значения:

• S12 = (4/3) * (1 - 2^12) / (1 - 2).
• S12 = (4/3) * (1 - 4096) / (-1).
• S12 = (4/3) * (-4095) / (-1).
• S12 = (4/3) * 4095.
• S12 = 4 * 1365 = 5460.

Таким образом, сумма первых двенадцати слагаемых геометрической последовательности равна 5460.