Чтобы найти площадь вписанного круга в правильный треугольник, нам сначала нужно определить радиус этого круга. В правильном треугольнике радиус вписанного круга можно вычислить по формуле:

r = (a * √3) / 6

где r - радиус вписанного круга, a - длина стороны треугольника.

В нашем случае сторона треугольника a равна 12 см. Подставим это значение в формулу:

r = (12 * √3) / 6

Теперь упростим это выражение:

1. Сначала сократим 12 и 6: 12 / 6 = 2.
2. Теперь у нас получается: r = 2 * √3.

Теперь, когда мы нашли радиус круга, можем вычислить его площадь. Площадь круга вычисляется по формуле:

S = π * r²

Подставим найденный радиус:

S = π * (2 * √3)²

Теперь вычислим (2 * √3)²:

1. Сначала возведем 2 в квадрат: 2² = 4.
2. Теперь возведем √3 в квадрат: (√3)² = 3.
3. Умножим эти два результата: 4 * 3 = 12.

Таким образом, мы получили:

S = π * 12

Теперь, если мы хотим получить численное значение площади, можем использовать приближенное значение π, равное 3.14:

S ≈ 3.14 * 12 ≈ 37.68 см²

Итак, площадь вписанного круга в правильный треугольник со стороной 12 см примерно равна 37.68 см².