Во сколько раз увеличится число сторон снежинки Коха на каждом шаге построения? Во сколько раз при этом уменьшится длина его сторон? Для каждого шага построения определить число сторон снежинки и периметр.

Математика 5 класс Фракталы снежинка Коха число сторон длина сторон периметр шаги построения увеличение сторон уменьшение длины математическая задача геометрия фракталы Новый

Снежинка Коха — это фрактальная фигура, которая строится по определённому правилу. Давайте разберёмся, как изменяется число сторон и длина периметра на каждом шаге построения.

Шаг 1: Начало построения

• Начинаем с равностороннего треугольника. У него 3 стороны.
• Длина каждой стороны пусть будет равна 1 (для простоты расчетов).
• Периметр на этом шаге будет равен 3 (3 стороны по 1 единице).

Шаг 2: Первый шаг построения

• На каждой стороне треугольника мы добавляем "шип" в виде равностороннего треугольника, который имеет ту же длину, что и сторона, делённую на 3.
• Теперь каждая сторона делится на 3 равные части, и к центру добавляется новый треугольник.
• Каждая из 3 сторон превращается в 4 (1 центральная часть + 2 боковые части + 1 новый "шип").
• Таким образом, общее число сторон увеличивается: 3 * 4 = 12.
• Длина каждой новой стороны составляет 1/3 (так как мы делим каждую сторону на 3). Периметр теперь: 12 * (1/3) = 4.

Шаг 3: Второй шаг построения

• На каждом из 12 новых отрезков мы снова добавляем "шипы". Каждая сторона снова делится на 3 части и добавляется новый треугольник.
• Каждая из 12 сторон превращается в 4, таким образом, число сторон увеличивается: 12 * 4 = 48.
• Длина каждой новой стороны теперь составляет (1/3) / 3 = 1/9. Периметр будет: 48 * (1/9) = 16/3.

Шаг 4: Третий шаг построения

• На каждом из 48 новых отрезков снова добавляем "шипы".
• Число сторон увеличивается: 48 * 4 = 192.
• Длина каждой новой стороны теперь составляет (1/9) / 3 = 1/27. Периметр будет: 192 * (1/27) = 64/9.

Обобщение:

• Число сторон на каждом шаге увеличивается в 4 раза.
• Длина каждой стороны на каждом шаге уменьшается в 3 раза.

Итак, на каждом шаге количество сторон увеличивается в 4 раза, а длина сторон уменьшается в 3 раза. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять процесс построения снежинки Коха!