Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

Объем куба можно найти по формуле:

V = a^3,

где V - объем, а a - длина ребра куба.

В нашем случае a = 10 см. Подставим значение в формулу:

1. V = 10 см * 10 см * 10 см = 1000 см³.

Таким образом, объем куба составляет 1000 кубических сантиметров.

Для нахождения длины ребра куба, когда известен объем, мы используем обратную формулу:

a = V^(1/3),

где V - объем куба.

Подставляем значение:

1. a = 729^(1/3).
2. 729 можно представить как 9^3, поэтому a = 9 см.

Таким образом, длина ребра куба равна 9 см.

Сначала найдем объем одного вазона:

Используем ту же формулу:

V = a^3, где a = 20 см.

1. V = 20 см * 20 см * 20 см = 8000 см³.

Теперь найдем объем 8 вазонов:

1. Объем 8 вазонов = 8 * 8000 см³ = 64000 см³.

Таким образом, нужно 64000 кубических сантиметров воды, чтобы заполнить 8 вазонов.

Для нахождения размеров прямоугольного параллелепипеда с заданным объемом и минимальной суммой сторон, можно воспользоваться методом проб и ошибок или использовать некоторые свойства. Обозначим длину, ширину и высоту как a, b и c соответственно. Мы знаем:

abc = 500

и нужно минимизировать:

S = a + b + c

Для начала, попробуем найти такие значения a, b и c, чтобы они были близки друг к другу, так как при равенстве сторон сумма будет минимальной.

Попробуем несколько вариантов:

1. Если a = 10, b = 10, тогда c = 500 / (10 * 10) = 5. Сумма будет 10 + 10 + 5 = 25.
2. Если a = 8, b = 8, тогда c = 500 / (8 * 8) = 7.8125. Сумма будет 8 + 8 + 7.8125 = 23.8125.
3. Если a = 5, b = 10, тогда c = 500 / (5 * 10) = 10. Сумма будет 5 + 10 + 10 = 25.

Таким образом, минимальная сумма сторон будет достигнута при a = 8 см, b = 8 см и c = 7.8125 см. Это даст нам объем 500 см³ и минимальную сумму сторон.