Для решения этой задачи мы будем использовать принцип делимости и свойства чисел по модулю.

Итак, у нас есть 17 пионеров, каждый из которых нашел различное количество грибов. Обозначим количество грибов, найденных каждым пионером, как a1, a2, a3, ..., a17. Мы знаем, что сумма всех найденных грибов равна 180:

a1 + a2 + a3 + ... + a17 = 180

Теперь давайте рассмотрим количество грибов, найденных каждым пионером, по модулю 5. Это значит, что мы будем смотреть на остатки от деления каждого количества грибов на 5. Остатки могут быть следующими:

• 0 (делится на 5)
• 1 (остаток 1)
• 2 (остаток 2)
• 3 (остаток 3)
• 4 (остаток 4)

Всего у нас 5 возможных остатков (0, 1, 2, 3, 4). Однако у нас 17 пионеров, и каждый из них нашел разное количество грибов. Это значит, что для 17 различных чисел по модулю 5 мы можем получить только 5 различных остатков.

Поэтому, согласно принципу Дирихле, если у нас 17 "клеток" (пионеров) и только 5 "ячеек" (остатков от деления на 5), то по крайней мере одна ячейка должна содержать как минимум 3 пионера. Это означает, что хотя бы один остаток должен повториться.

Теперь давайте рассмотрим возможные случаи:

1. Если хотя бы один из пионеров нашел количество грибов, которое делится на 5 (остаток 0), то мы уже удовлетворили условие.
2. Если ни один не нашел количество грибов, которое делится на 5, тогда все 17 пионеров могут иметь остатки 1, 2, 3 и 4. Но так как у нас 17 пионеров и только 4 остатка, то по принципу Дирихле, как минимум два пионера должны иметь одинаковый остаток. Но это противоречит условию, что никакие двое не нашли одинакового количества грибов.

Таким образом, мы приходим к выводу, что хотя бы один из пионеров должен был найти количество грибов, которое делится на 5. Это и требовалось доказать.