Давайте сначала решим первую задачу о наименьшем числе, у которого наибольший общий делитель (НОД) с числом 36 равен 12.

Для начала, нам нужно понять, что такое НОД. НОД двух чисел — это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка. В нашем случае, мы ищем такое число, которое делится на 12 и при этом имеет НОД с 36 равный 12.

Шаги решения:

1. Найдем делители числа 36. Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
2. Теперь нам нужно найти числа, которые делятся на 12. Это могут быть: 12, 24, 36 и так далее.
3. Проверим, какое из этих чисел имеет НОД с 36 равный 12:
• Для числа 12: НОД(12, 36) = 12.
• Для числа 24: НОД(24, 36) = 12.
• Для числа 36: НОД(36, 36) = 36.
4. Наименьшее из этих чисел — это 12.

Таким образом, наименьшее число, у которого НОД с 36 равен 12, это 12.

Теперь перейдем ко второй задаче о автобусах.

Три автобуса выехали одновременно и движутся по кольцевой дороге. Нам нужно выяснить, через сколько минут они снова встретятся в автопарке.

Шаги решения:

1. Для начала, найдем время, за которое каждый автобус проезжает кольцо:
• Первый автобус: 50 минут.
• Второй автобус: 60 минут.
• Третий автобус: 100 минут.
2. Теперь нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел. НОК — это наименьшее число, которое делится на каждое из заданных чисел.
3. Для нахождения НОК воспользуемся разложением на простые множители:
• 50 = 2 × 5²
• 60 = 2² × 3 × 5
• 100 = 2² × 5²
4. Теперь найдем НОК, выбирая максимальные степени каждого простого числа:
• 2² (максимум из 2) = 4
• 3¹ (максимум из 3) = 3
• 5² (максимум из 5) = 25
5. Теперь перемножим эти значения: 4 × 3 × 25 = 300.

Таким образом, автобусы встретятся в автопарке через 300 минут.