Какова площадь прямоугольного треугольника, если его периметр составляет 30 см, а длина гипотенузы равна 13 см?

Математика 6 класс Периметр и площадь треугольника площадь прямоугольного треугольника периметр 30 см длина гипотенузы 13 см задача по математике 6 класс решение треугольника Новый

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нам нужно знать длины его катетов. У нас есть информация о периметре и гипотенузе. Давайте разберемся по шагам.

1. Запишем известные данные:
   • Периметр (P) = 30 см
   • Гипотенуза (c) = 13 см
2. Согласно формуле периметра треугольника:

   P = a + b + c, где a и b - это длины катетов.

   Подставим известные значения:

   30 = a + b + 13

   Теперь упростим уравнение:

   a + b = 30 - 13

   a + b = 17

   Таким образом, сумма катетов a и b равна 17 см.

3. Теперь воспользуемся теоремой Пифагора:

   c² = a² + b². Подставим значение гипотенузы:

   13² = a² + b²

   169 = a² + b²

   Теперь у нас есть система уравнений:

   • a + b = 17
   • a² + b² = 169
4. Решим систему уравнений:

   Из первого уравнения выразим b:

   b = 17 - a

   Теперь подставим это значение во второе уравнение:

   a² + (17 - a)² = 169

   Раскроем скобки:

   a² + (289 - 34a + a²) = 169

   2a² - 34a + 289 - 169 = 0

   2a² - 34a + 120 = 0

   Упростим уравнение, разделив на 2:

   a² - 17a + 60 = 0

   Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   D = b² - 4ac = (-17)² - 4*1*60 = 289 - 240 = 49

   Теперь найдем корни уравнения:

   a = (17 ± √49) / 2 = (17 ± 7) / 2

   Таким образом, получаем два корня:

   • a₁ = (24) / 2 = 12
   • a₂ = (10) / 2 = 5

   Значит, один катет a = 12 см, а другой катет b = 5 см (или наоборот).

5. Теперь можем найти площадь треугольника:

   Площадь (S) прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:

   S = (a * b) / 2

   Подставляем значения катетов:

   S = (12 * 5) / 2 = 60 / 2 = 30 см²

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника составляет 30 см².