Чтобы найти длину сломанной палочки, давайте сначала вспомним, что для треугольника сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. У нас есть 4 палочки с длинами 4, 5, 5 и 6. Из этих палочек мы можем выбрать любые три, чтобы проверить, могут ли они образовать треугольник.

Теперь давайте рассмотрим все возможные комбинации палочек:

• 4, 5, 5
• 4, 5, 6
• 4, 6, 5
• 5, 5, 6

Теперь проверим каждую комбинацию на выполнение условия треугольника:

1. 4, 5, 5:
   • 4 + 5 > 5 (истинно)
   • 4 + 5 > 5 (истинно)
   • 5 + 5 > 4 (истинно)

   Эта комбинация может образовать треугольник.

2. 4, 5, 6:
   • 4 + 5 > 6 (истинно)
   • 4 + 6 > 5 (истинно)
   • 5 + 6 > 4 (истинно)

   Эта комбинация также может образовать треугольник.

3. 4, 6, 5:
   • 4 + 6 > 5 (истинно)
   • 4 + 5 > 6 (истинно)
   • 6 + 5 > 4 (истинно)

   Эта комбинация тоже может образовать треугольник.

4. 5, 5, 6:
   • 5 + 5 > 6 (истинно)
   • 5 + 6 > 5 (истинно)
   • 5 + 6 > 5 (истинно)

   Эта комбинация также может образовать треугольник.

Теперь мы видим, что все эти комбинации могут образовать треугольники. Однако, чтобы найти сломанную палочку, нам нужно понять, какая палочка была сломана.

Из четырех палочек (4, 5, 5, 6) мы видим, что у нас есть две палочки длиной 5. Это может означать, что одна из палочек длиной 5 была сломана. Если бы мы сложили остальные палочки (4, 5, 6), то получили бы 15. Если бы мы добавили сломанную палочку длиной 5, то общая длина составила бы 20.

Таким образом, длина сломанной палочки составляет 5. Это единственный вариант, который соответствует условиям задачи.

Ответ: сломанная палочка была длиной 5.