Для решения задачи начнем с того, что у нас есть квадратная таблица 4×4, в которой необходимо разместить числа 1, 3, 7 и 8 так, чтобы в каждой строке, каждом столбце и в обеих диагоналях присутствовали все четыре числа. Мы хотим максимизировать сумму чисел, находящихся в серых клетках, которые расположены следующим образом:

• 2 серые клетки в первой строке
• 1 серая клетка во второй строке
• 2 серые клетки в третьей строке
• 1 серая клетка в четвертой строке

Теперь давайте обозначим серые клетки:

• Серая клетка 1: (1,1)
• Серая клетка 2: (1,2)
• Серая клетка 3: (2,3)
• Серая клетка 4: (3,1)
• Серая клетка 5: (3,2)
• Серая клетка 6: (4,2)

Теперь мы можем рассмотреть, какие числа мы можем разместить в серых клетках, чтобы максимизировать их сумму. Наиболее высокие числа в нашем наборе - это 7 и 8. Чтобы максимизировать сумму, мы постараемся разместить как можно больше из этих чисел в серых клетках.

Рассмотрим возможное распределение чисел:

1. В первой строке разместим 7 и 8 в серых клетках: (1,1) = 7 и (1,2) = 8.
2. Во второй строке в серой клетке (2,3) можно разместить 3.
3. В третьей строке разместим 8 и 7 в серых клетках: (3,1) = 8 и (3,2) = 7.
4. В четвертой строке в серой клетке (4,2) разместим 8.

Теперь подсчитаем сумму чисел в серых клетках:

• Сумма = 7 (из первой строки) + 8 (из первой строки) + 3 (из второй строки) + 8 (из третьей строки) + 7 (из третьей строки) + 8 (из четвертой строки) = 41.

Однако, давайте проверим, можем ли мы сделать что-то лучше, например, разместив 8 в одной из серых клеток в третьей строке и 7 в другой. В итоге, чтобы максимизировать, мы можем попробовать следующее:

• Серая клетка 1: 8
• Серая клетка 2: 7
• Серая клетка 3: 3
• Серая клетка 4: 8
• Серая клетка 5: 7
• Серая клетка 6: 8

Таким образом, максимальная сумма, которую мы можем получить, равняется 8 + 7 + 3 + 8 + 7 + 8 = 41.

Ответ: наибольшее возможное значение суммы чисел, записанных в серых клетках, равно 41.