Чтобы найти возраст старика Хоттабыча, давайте разберем условия задачи по шагам.

1. Анализируем первую подсказку: нам нужно найти двузначное число, сумма цифр которого равна 13, и это число должно быть наибольшим из возможных.
2. Рассмотрим двузначные числа. Если обозначим первую цифру двузначного числа как A, а вторую как B, то у нас есть уравнение:
• A + B = 13
3. Теперь перечислим все возможные пары (A, B), которые удовлетворяют этому уравнению:
• (4, 9)
• (5, 8)
• (6, 7)
• (7, 6)
• (8, 5)
• (9, 4)
4. Из этих пар наибольшей является (9, 4). Таким образом, двузначное число, соответствующее этим цифрам, будет 94.
5. Теперь переходим ко второму условию: первая цифра должна быть в 4 раза больше последней. Обозначим первую цифру как X, а последнюю как Y.
6. По условию имеем:
• X = 4Y
7. Так как все цифры должны быть различными и X и Y должны быть цифрами от 0 до 9, Y может принимать значения 1 или 2 (поскольку 4*3=12, что уже выходит за пределы одной цифры).
8. Подставим возможные значения Y:
• Если Y = 1, то X = 4 * 1 = 4.
• Если Y = 2, то X = 4 * 2 = 8.
9. Теперь у нас есть две возможные пары для первой и последней цифры: (4, 1) и (8, 2).
10. Теперь соберем полный номер:
• Для первой пары (4, 1) и двузначного числа 94, мы можем составить число 4X94Y, где X может быть 9, а Y 1. Это число 4091.
• Для второй пары (8, 2) и двузначного числа 94, мы можем составить число 8X94Y, где X может быть 9, а Y 2. Это число 8092.
11. Однако, у нас есть условие, что все цифры должны быть различны. В случае 4091 цифры 4, 0, 9 и 1 различны, но в случае 8092 цифры 8, 0, 9 и 2 тоже различны.
12. Таким образом, у нас есть два возможных возраста: 4091 и 8092. Но так как возраст не может превышать 99 лет, мы оставляем только 4091.

Ответ: Возраст старика Хоттабыча составляет 4091 год.