1. Упростить выражение: $\sqrt{49x} - 3\sqrt{4x} + \sqrt{x}$.

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами квадратного корня:

$\sqrt{a^2} = |a|$, где $a$ — любое число.

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, где $a$ и $b$ — положительные числа.

$\sqrt{a} = \sqrt{b}$, если $a = b$.

$\sqrt{a} = -\sqrt{b}$, если $a = -b$.

$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{a - b}$, если $a \geqslant 0$ и $b \geqslant 0$.

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$, если $a \geqslant 0$ и $b \geqslant 0$.

$\sqrt{a} - \sqrt{b} = -\sqrt{a - b}$, если $a < 0$ и $b \geqslant 0$.

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = -\sqrt{a + b}$, если $a < 0$ и $b \geqslant 0$.

$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{a - b}$, если $a \leqslant 0$ и $b < 0$.

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = -\sqrt{a + b}$, если $a \leqslant 0$ и $b < 0$.

$\sqrt{a} - \sqrt{b} = -\sqrt{a - b}$, если $a < 0$ и $b < 0$.

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$, если $a < 0$ и $b < 0$.

$\sqrt{49x} - 3\sqrt{4x} + \sqrt{x} = \sqrt{(7x)^2} - 3\sqrt{(2x)^2} + \sqrt{x} = 7x - 2x + \sqrt{x} = 5x + \sqrt{x}$.

Ответ: $5x + \sqrt{x}$.

2. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Найдите AB, если AD = 24.

Все стороны правильного шестиугольника равны. AD = 24, следовательно, другая диагональ тоже BE = 24.

Углы шестиугольника равны 120°.

Угол BAF = 120°.

Треугольник ABF — равносторонний, так как все углы равны 60°.

AB = AD = 24.

Ответ: 24.

3. Катеты AC и BC прямоугольного треугольника ABC относятся как 9:12 соответственно. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую из вершины прямого угла, если гипотенуза равна 45.

Пусть катеты AC = 9x, BC = 12x.

По теореме Пифагора $AB^2 = AC^2 + BC^2$.

$45^2 = (9x)^2 + (12x)^2$.

$x^2 = 25$.

$x = \pm 5$.

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то $x = 5$.

Катеты треугольника равны AC = 9 5 = 45, BC = 12 5 = 60.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot 60 = 1350$.

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна отношению удвоенной площади к гипотенузе: $h = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 1350}{45} = 60$.

Ответ: 60.

*4. Найти значение выражения: $11 (-4) - 38 : | -19|$.

$11 * (-4) = -44$.

$38 : |-