Для того чтобы доказать, что число имеет нечетное количество делителей тогда и только тогда, когда оно является полным квадратом, давайте разберем это утверждение по шагам.

Шаг 1: Понимание делителей числа

Каждое натуральное число n можно представить в виде произведения своих делителей. Например, если n = 12, то его делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Заметим, что делители обычно идут парами: 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Эти пары образуются так, что произведение чисел в паре равно n.

Шаг 2: Полные квадраты

Число является полным квадратом, если его можно записать в виде k², где k — натуральное число. Например, 9 = 3² и 16 = 4².

Шаг 3: Делители полных квадратов

Если число n является полным квадратом, например, n = k², то один из его делителей будет равен k. Этот делитель не входит в пару, так как k * k = n. Таким образом, у полного квадрата есть одна "непарная" середина, что делает общее количество делителей нечетным.

• Например, для n = 9, делители: 1, 3, 9. Здесь 3 является "непарной" серединой.
• Для n = 16, делители: 1, 2, 4, 8, 16. Здесь 4 является "непарной" серединой.

Шаг 4: Числа, которые не являются полными квадратами

Если число не является полным квадратом, то все его делители образуют пары. Таким образом, количество делителей будет четным.

• Например, для n = 12, делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Все делители образуют пары (1,12), (2,6), (3,4).

Вывод:

Таким образом, число имеет нечетное количество делителей тогда и только тогда, когда оно является полным квадратом. Все натуральные числа, которые не являются полными квадратами, имеют четное количество натуральных делителей.