Докажите, что произведение НОД(a,b) и НОК(a,b) равно произведению a и b:

1. а) для взаимно простых чисел;
2. б) для любых чисел.

Математика 7 класс НОД и НОК чисел доказательство произведения НОД и НОК НОД и НОК взаимно простые числа НОД и НОК любые числа свойства НОД и НОК произведение чисел НОД НОК Новый

Давайте рассмотрим доказательство утверждения, что произведение НОД(a,b) и НОК(a,b) равно произведению a и b. Мы рассмотрим два случая: для взаимно простых чисел и для любых чисел.

а) Для взаимно простых чисел:

Взаимно простые числа - это такие числа, у которых НОД равен 1. То есть, если a и b - взаимно простые, то:

• НОД(a, b) = 1
• Теперь найдем НОК(a, b). По определению НОК: НОК(a, b) = (a * b) / НОД(a, b).

Подставим значение НОД:

• НОК(a, b) = (a * b) / 1 = a * b.

Теперь найдем произведение НОД и НОК:

• НОД(a, b) * НОК(a, b) = 1 * (a * b) = a * b.

Таким образом, для взаимно простых чисел мы доказали, что произведение НОД и НОК равно произведению a и b.

б) Для любых чисел:

Теперь рассмотрим случай для любых чисел a и b. Обозначим:

• НОД(a, b) = d
• Таким образом, a и b можно представить как:
• a = d * m
• b = d * n
• где m и n - взаимно простые числа (т.е. НОД(m, n) = 1).

Теперь найдем НОК(a, b):

• НОК(a, b) = (a * b) / НОД(a, b) = (d * m * d * n) / d = d * m * n.

Теперь найдем произведение НОД и НОК:

• НОД(a, b) * НОК(a, b) = d * (d * m * n) = d^2 * m * n.

Теперь, поскольку m и n взаимно простые, то:

• m * n = (a / d) * (b / d) = (a * b) / d^2.

Таким образом, мы можем записать:

• d^2 * m * n = d^2 * (a * b) / d^2 = a * b.

Итак, мы доказали, что для любых чисел a и b произведение НОД и НОК также равно произведению a и b.

В итоге, в обоих случаях мы пришли к одному и тому же результату:

Произведение НОД(a, b) и НОК(a, b) равно произведению a и b.