Два охотника одновременно выстрелили одинаковыми пулями в медведя и убили его одной пулей. Как им справедливо поделить шкуру, если вероятность попадания у первого охотника равна 0,3, а у второго 0,6? Что значит «справедливо» в контексте этой задачи? Например, можно поделить шкуру пропорционально вероятностям, с которыми попавшая в медведя пуля принадлежит каждому из охотников. Введём несколько событий: A1 — в медведя попал первый охотник; A2 — в медведя попал второй охотник; B — в медведя попала ровно одна пуля. Воспользовавшись формулой Байеса, найдите P(A1|B).

Математика 7 класс Вероятности и формула Байеса математика 7 класс вероятность формула Байеса охотники дележ шкур пропорциональное деление события A1 A2 B решение задачи учебный материал Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся с тем, что мы знаем и что нам нужно найти. Мы имеем двух охотников с вероятностями попадания:

• Вероятность попадания первого охотника (A1) = 0,3
• Вероятность попадания второго охотника (A2) = 0,6

Сначала определим, что значит «справедливо» в этом контексте. Мы можем сказать, что шкура медведя должна быть поделена пропорционально вероятностям попадания каждого из охотников. То есть, если вероятность того, что первый охотник попал в медведя, меньше, чем у второго, то он получит меньшую долю шкуры.

Теперь введем событие B — «в медведя попала ровно одна пуля». Мы хотим найти вероятность того, что первым охотником был именно первый охотник, если известно, что в медведя попала ровно одна пуля, то есть P(A1|B).

Для этого воспользуемся формулой Байеса:

P(A1|B) = (P(B|A1) * P(A1)) / P(B)

Теперь нам нужно найти каждый из компонентов этой формулы:

1. P(B|A1) — вероятность того, что в медведя попала ровно одна пуля, если первым охотником был первый охотник. Это произойдет, если первый охотник попадет, а второй промахнется. Таким образом:
• P(B|A1) = P(A1) * (1 - P(A2)) = 0,3 * (1 - 0,6) = 0,3 * 0,4 = 0,12
2. P(B|A2) — вероятность того, что в медведя попала ровно одна пуля, если первым охотником был второй охотник. Это произойдет, если второй охотник попадет, а первый промахнется. Таким образом:
• P(B|A2) = P(A2) * (1 - P(A1)) = 0,6 * (1 - 0,3) = 0,6 * 0,7 = 0,42
3. P(B) — общая вероятность того, что в медведя попала ровно одна пуля. Это будет сумма вероятностей того, что в медведя попала одна пуля от каждого охотника:
• P(B) = P(B|A1) * P(A1) + P(B|A2) * P(A2) = 0,12 * 0,3 + 0,42 * 0,6 = 0,036 + 0,252 = 0,288

Теперь мы можем подставить все найденные значения в формулу Байеса:

P(A1|B) = (P(B|A1) * P(A1)) / P(B) = (0,12 * 0,3) / 0,288 = 0,036 / 0,288 ≈ 0,125

Таким образом, вероятность того, что первым охотником был именно первый охотник, если известно, что в медведя попала ровно одна пуля, составляет примерно 0,125, или 12,5%. Это значит, что шкура медведя должна быть поделена пропорционально этим вероятностям.