Чтобы определить, сколько парных произведений чисел от 1 до 100 делятся на три, давайте сначала разберемся с тем, что такое парные произведения.

Парное произведение - это произведение двух чисел. В нашем случае, мы будем рассматривать все возможные пары чисел от 1 до 100. Пара (a, b) считается такой же, как пара (b, a), поэтому мы будем считать пары (a, b) с a ≤ b, чтобы избежать повторений.

Теперь, чтобы произведение двух чисел делилось на три, хотя бы одно из этих чисел должно делиться на три. Давайте найдем количество чисел от 1 до 100, которые делятся на три.

• Числа, делящиеся на три, формируют арифметическую прогрессию: 3, 6, 9, ..., 99.
• Первый член этой прогрессии - 3, последний - 99, и разность между членами - 3.
• Чтобы найти количество членов этой прогрессии, используем формулу для n-го члена: n = (последний член - первый член) / разность + 1.
• Подставляем значения: n = (99 - 3) / 3 + 1 = 33.

Итак, у нас есть 33 числа, которые делятся на три. Теперь давайте найдем количество пар, где хотя бы одно из чисел делится на три.

Общее количество пар (a, b) с a ≤ b можно найти следующим образом:

• Сначала найдем общее количество чисел от 1 до 100, то есть 100.
• Количество пар (a, b) можно найти по формуле: C(n, 2) + n, где n - количество чисел. C(n, 2) - это количество способов выбрать 2 числа из n, а n - количество способов выбрать одно число (где a = b).
• В нашем случае: C(100, 2) + 100 = (100 * 99) / 2 + 100 = 4950 + 100 = 5050.

Теперь найдем количество пар, где оба числа не делятся на три. Если всего 100 чисел, и 33 из них делятся на три, то оставшиеся 67 чисел не делятся на три.

Теперь найдем количество пар (c, d) с c ≤ d, где c и d - числа, не делящиеся на три:

• Количество таких пар: C(67, 2) + 67 = (67 * 66) / 2 + 67 = 2211 + 67 = 2278.

Теперь мы можем найти количество пар, где хотя бы одно число делится на три, вычитая количество пар, где оба числа не делятся на три, из общего количества пар:

Количество пар, где хотя бы одно число делится на три = Общее количество пар - Количество пар, где оба числа не делятся на три.

Это будет: 5050 - 2278 = 2772.

Ответ: 2772 парных произведения чисел от 1 до 100 делятся на три.