Из нескольких одинаковых кубиков Вася сложил большой куб и покрасил его грани. Оказалось, что количество кубиков с одной покрашенной гранью равно количеству кубиков, у которых покрашенных граней нет. Сколько маленьких кубиков использовал Вася?

Математика 7 класс Задачи на объем и поверхность многогранников математика 7 класс задачи на кубики количество покрашенных граней кубы и их свойства решение задач по математике Новый

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

Пусть маленький кубик имеет длину ребра 1. Если Вася сложил большой куб, то его длина ребра будет равна n, где n - это количество маленьких кубиков по одной стороне большого куба. Таким образом, объем большого куба будет равен n^3, а количество маленьких кубиков, из которых он состоит, тоже равно n^3.

Теперь давайте проанализируем, сколько маленьких кубиков имеет одну покрашенную грань и сколько не имеет покрашенных граней.

• Кубики с одной покрашенной гранью: Эти кубики находятся на гранях большого куба, но не на углах и не на ребрах. На каждой грани большого куба размером n x n находятся (n - 2) x (n - 2) таких кубиков. Поскольку у куба 6 граней, то общее количество кубиков с одной покрашенной гранью будет равно:
• 6 * (n - 2) * (n - 2).
• Кубики без покрашенных граней: Эти кубики находятся внутри большого куба. Их объем равен (n - 2)^3, так как они образуют меньший куб, который не касается внешней поверхности. Таким образом, количество кубиков без покрашенных граней:
• (n - 2)^3.

По условию задачи, количество кубиков с одной покрашенной гранью равно количеству кубиков, у которых покрашенных граней нет. Запишем это в виде уравнения:

6 * (n - 2) * (n - 2) = (n - 2)^3.

Теперь упростим уравнение. Разделим обе стороны на (n - 2), при условии, что n не равно 2:

6 * (n - 2) = (n - 2)^2.

Переносим все в одну сторону:

(n - 2)^2 - 6 * (n - 2) = 0.

Обозначим x = n - 2. Тогда уравнение примет вид:

x^2 - 6x = 0.

Факторизуем:

x(x - 6) = 0.

Таким образом, x = 0 или x = 6. Поскольку x = n - 2, то:

• Если x = 0, то n - 2 = 0, значит n = 2.
• Если x = 6, то n - 2 = 6, значит n = 8.

Теперь найдем количество маленьких кубиков:

• Если n = 2, то количество кубиков: 2^3 = 8.
• Если n = 8, то количество кубиков: 8^3 = 512.

Поскольку в условии не указано ограничение на количество маленьких кубиков, Вася мог использовать 8 или 512 маленьких кубиков. Однако, учитывая, что задача подразумевает более практичное решение, скорее всего, Вася использовал 512 кубиков.

Ответ: Вася использовал 512 маленьких кубиков.