Как можно доказать, что хотя бы одна из середин отрезков с концами в трех точках A, B и C на координатном луче, имеющих натуральные координаты, будет иметь натуральную координату?

Математика 7 класс Середины отрезков и натуральные числа доказательство середина отрезка натуральные координаты точки A B C координатный луч математика 7 класс Новый

Давайте рассмотрим три точки A, B и C на координатном луче, которые имеют натуральные координаты. Обозначим их координаты как a, b и c соответственно, где a, b, c - натуральные числа. Мы хотим доказать, что хотя бы одна из середин отрезков с концами в этих точках будет иметь натуральную координату.

Сначала определим, что такое середина отрезка. Середина отрезка с концами в точках x1 и x2 вычисляется по формуле:

Середина = (x1 + x2) / 2

Теперь рассмотрим все возможные пары точек A, B и C:

• Середина отрезка AB: (a + b) / 2
• Середина отрезка BC: (b + c) / 2
• Середина отрезка AC: (a + c) / 2

Теперь давайте проанализируем каждую из этих середин. Для того чтобы середина имела натуральную координату, необходимо, чтобы сумма координат, деленная на 2, была натуральным числом. Это возможно, если сумма координат четная.

Теперь рассмотрим четность и нечетность чисел:

• Натуральные числа могут быть четными или нечетными.
• Сумма двух четных чисел - четное число.
• Сумма двух нечетных чисел - четное число.
• Сумма четного и нечетного числа - нечетное число.

Теперь рассмотрим возможные случаи для трех чисел a, b и c:

1. Все три числа четные: тогда все три середины будут четными, и, следовательно, натуральными.
2. Все три числа нечетные: тогда все три середины также будут четными и, следовательно, натуральными.
3. Два числа четные и одно нечетное: тогда среди середин AB и AC будет четная, а значит, натуральная координата.
4. Два числа нечетные и одно четное: тогда среди середин AB и BC будет четная, а значит, натуральная координата.

Таким образом, в любом случае, хотя бы одна из середин отрезков с концами в точках A, B и C будет иметь натуральную координату. Мы доказали это путем анализа четности и нечетности возможных координат.