Как можно вычислить сумму ряда 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + ... + 1/342? За правильный ответ даю 50 баллов, срочно пожалуйста!

Математика 7 класс Суммы рядов Сумма ряда вычисление суммы математические ряды дроби 1/12 1/20 1/30 1/42 1/342 задачи по математике Новый

Чтобы вычислить сумму ряда 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + ... + 1/342, давайте сначала определим, какие числа стоят в знаменателях дробей. Мы заметим, что знаменатели представляют собой произведения чисел.

Шаг 1: Определение знаменателей

Посмотрим на знаменатели: 12, 20, 30, 42, ...

• 12 = 3 * 4
• 20 = 4 * 5
• 30 = 5 * 6
• 42 = 6 * 7

Мы видим, что каждый знаменатель можно представить как произведение двух последовательных целых чисел, начиная с 3.

Шаг 2: Обобщение знаменателей

Таким образом, можно заметить, что общий вид знаменателя можно записать как:

n(n + 1), где n - это целое число, начиная с 3.

Шаг 3: Определение последнего члена ряда

Теперь давайте найдем, какое значение n соответствует последнему члену 342:

• n(n + 1) = 342

Решая это уравнение, мы можем попробовать разные значения n:

• n = 18: 18 * 19 = 342

Таким образом, последний член ряда соответствует n = 18.

Шаг 4: Сумма ряда

Теперь мы можем записать сумму ряда:

Сумма = 1/12 + 1/20 + 1/30 + ... + 1/342 = 1/(3*4) + 1/(4*5) + 1/(5*6) + ... + 1/(18*19).

Чтобы вычислить эту сумму, мы можем использовать метод разложения на простейшие дроби:

• 1/(n(n + 1)) = 1/n - 1/(n + 1).

Таким образом, для нашего ряда:

• 1/12 = 1/3 - 1/4
• 1/20 = 1/4 - 1/5
• 1/30 = 1/5 - 1/6
• ...
• 1/342 = 1/18 - 1/19.

Шаг 5: Суммирование дробей

Теперь, если мы сложим все эти дроби, мы увидим, что большинство членов сократится:

• Сумма = (1/3 - 1/4) + (1/4 - 1/5) + (1/5 - 1/6) + ... + (1/18 - 1/19).

В результате мы получим:

Сумма = 1/3 - 1/19.

Шаг 6: Вычисление итоговой суммы

Теперь давайте вычислим:

• 1/3 = 19/57
• 1/19 = 3/57.

Таким образом:

Сумма = 19/57 - 3/57 = 16/57.

Итак, окончательный ответ: Сумма ряда равна 16/57.