Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 68 и 40, мы можем использовать метод, называемый разложением на простые множители, или воспользоваться алгоритмом Евклида. Рассмотрим оба метода.

Метод 1: Разложение на простые множители

1. Сначала разложим каждое число на простые множители:
• 68: 68 делится на 2 (это простое число), получаем 34.
• 34 также делится на 2, получаем 17.
• 17 - это простое число, значит, разложение 68: 2 × 2 × 17 или 2² × 17.
2. Теперь разложим 40:
• 40 делится на 2, получаем 20.
• 20 делится на 2, получаем 10.
• 10 делится на 2, получаем 5.
• 5 - это простое число, значит, разложение 40: 2 × 2 × 2 × 5 или 2³ × 5.
3. Теперь у нас есть разложения:
• 68 = 2² × 17
• 40 = 2³ × 5
4. Теперь найдем общие множители:
• Общий множитель - это 2.
• Минимальная степень 2 в разложениях: 2² (из 68) и 2³ (из 40) - это 2².
5. Следовательно, НОД(68, 40) = 2² = 4.

Метод 2: Алгоритм Евклида

1. Начнем с двух чисел: 68 и 40.
2. Выполним деление большего числа на меньшее:
• 68 делим на 40, получаем остаток 28 (68 = 40 × 1 + 28).
3. Теперь заменим 68 на 40, а 40 на остаток 28:
• 40 делим на 28, получаем остаток 12 (40 = 28 × 1 + 12).
4. Снова заменим 40 на 28, а 28 на остаток 12:
• 28 делим на 12, получаем остаток 4 (28 = 12 × 2 + 4).
5. Теперь заменим 28 на 12, а 12 на остаток 4:
• 12 делим на 4, получаем остаток 0 (12 = 4 × 3 + 0).
6. Когда остаток стал равен 0, последнее ненулевое число (в данном случае 4) и есть НОД.

Таким образом, НОД(68, 40) = 4.

Вы можете использовать любой из представленных методов, чтобы найти НОД. Оба метода дают одинаковый результат.