Для решения задачи нам нужно определить, как можно разместить коробки в ящике так, чтобы минимизировать площадь его основания.

Коробки имеют размеры 5 см и 12 см. Мы можем укладывать их в ящик различными способами. Рассмотрим два основных варианта укладки:

1. Коробки укладываются так, что стороны 5 см и 12 см располагаются параллельно сторонам основания ящика.
2. Коробки укладываются так, что одна из сторон коробки 5 см становится параллельной стороне 12 см другой коробки.

Теперь давайте рассчитаем площадь основания ящика в каждом из случаев.

• Если мы укладываем коробки так, что одна сторона 5 см идет вдоль одной стороны ящика, а другая сторона 12 см вдоль другой стороны ящика, то размеры основания ящика будут 5 см и 12 см.
• Площадь основания в этом случае будет равна: 5 см * 12 см = 60 см².

• Если мы укладываем коробки так, что одна сторона 5 см становится параллельной стороне 12 см другой коробки, то размеры основания ящика будут: 12 см и 5 см.
• Площадь основания в этом случае также будет равна: 12 см * 5 см = 60 см².

Таким образом, в обоих вариантах площадь основания ящика остается одинаковой и равна 60 см².

Однако, если мы рассматриваем возможность укладки коробок в несколько уровней или в разных конфигурациях, то площадь основания ящика может измениться, но в рамках данной задачи мы ищем наименьшую площадь основания, которая может вместить коробки в одном уровне.

Ответ: Наименьшая площадь основания ящика составляет 60 см².