На доске записаны степени всех вершин некоторого графа. При каком наборе чисел этот граф может быть деревом?

1. 5, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1
2. 5, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
3. 3, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1
4. 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1
5. 4, 2, 1, 1, 1, 1

Математика 7 класс Графы и деревья граф дерево степени вершин набор чисел математика 7 класс Новый

Чтобы определить, может ли граф с заданными степенями вершин быть деревом, нужно помнить несколько важных свойств деревьев и применить критерий Эйлера. Дерево — это связный граф без циклов, и у него есть следующие характеристики:

• В дереве с n вершинами всегда n-1 рёбер.
• Сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер (по теореме о степени вершин).

Теперь давайте проанализируем каждый из предложенных наборов чисел:

1. Набор: 5, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1
   • Количество вершин (n) = 10.
   • Сумма степеней = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 19.
   • По формуле: количество рёбер = (19 / 2) = 9. Но для дерева с 10 вершинами должно быть 9 рёбер, что возможно.
2. Набор: 5, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
   • Количество вершин (n) = 12.
   • Сумма степеней = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 21.
   • Количество рёбер = (21 / 2) = 10. Для дерева с 12 вершинами нужно 11 рёбер, что невозможно.
3. Набор: 3, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1
   • Количество вершин (n) = 8.
   • Сумма степеней = 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 13.
   • Количество рёбер = (13 / 2) = 6. Для дерева с 8 вершинами нужно 7 рёбер, что невозможно.
4. Набор: 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1
   • Количество вершин (n) = 9.
   • Сумма степеней = 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12.
   • Количество рёбер = (12 / 2) = 6. Для дерева с 9 вершинами нужно 8 рёбер, что невозможно.
5. Набор: 4, 2, 1, 1, 1, 1
   • Количество вершин (n) = 6.
   • Сумма степеней = 4 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10.
   • Количество рёбер = (10 / 2) = 5. Для дерева с 6 вершинами нужно 5 рёбер, что возможно.

Таким образом, граф может быть деревом для следующих наборов:

• 5, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1
• 4, 2, 1, 1, 1, 1