Помогите, пожалуйста! Какие из следующих свойств НОД и НОК являются верными?

1. НОД(a+c,b+c)=c+НОД(a,b)
2. НОД(ac,bc)=c⋅НОД(a,b)
3. НОК(ac,bc)=c⋅НОК(a,b)
4. НОД(a,a+1)=1
5. НОК(a,b)=ab

Математика 7 класс Свойства НОД и НОК свойства НОД свойства НОК НОД и НОК математика 7 класс задачи по математике Новый

Давайте рассмотрим каждое из предложенных свойств НОД (наибольшего общего делителя) и НОК (наименьшего общего кратного) по отдельности и определим их верность.

1. НОД(a+c, b+c) = c + НОД(a, b)

Это свойство неверно. НОД двух чисел не может быть представлен как сумма одного из слагаемых и НОД этих чисел. Например, если a = 2, b = 4 и c = 1, то НОД(2+1, 4+1) = НОД(3, 5) = 1, а c + НОД(2, 4) = 1 + 2 = 3. Они не равны.

2. НОД(ac, bc) = c * НОД(a, b)

Это свойство верно. Если мы умножим два числа a и b на одно и то же число c, то НОД этих произведений будет равен c, умноженному на НОД самих a и b. Например, если a = 2, b = 4 и c = 3, то НОД(2*3, 4*3) = НОД(6, 12) = 6, а c * НОД(2, 4) = 3 * 2 = 6.

3. НОК(ac, bc) = c * НОК(a, b)

Это свойство также верно. Если мы умножим два числа a и b на одно и то же число c, то НОК этих произведений будет равен c, умноженному на НОК самих a и b. Например, если a = 2, b = 4 и c = 3, то НОК(2*3, 4*3) = НОК(6, 12) = 12, а c * НОК(2, 4) = 3 * 4 = 12.

4. НОД(a, a+1) = 1

Это свойство верно. Два последовательных числа всегда являются взаимно простыми, то есть их НОД равен 1. Например, НОД(5, 6) = 1.

5. НОК(a, b) = ab

Это свойство неверно в общем случае. НОК двух чисел a и b равен произведению этих чисел, деленному на их НОД. Например, для a = 4 и b = 6, НОК(4, 6) = (4 * 6) / НОД(4, 6) = 24 / 2 = 12, а не 24.

Таким образом, верные свойства:

• НОД(ac, bc) = c * НОД(a, b)
• НОК(ac, bc) = c * НОК(a, b)
• НОД(a, a+1) = 1

Неверные свойства:

• НОД(a+c, b+c) = c + НОД(a, b)
• НОК(a, b) = ab