а) 3² + 4² = 5²

1. Вычислим 3²: 3 * 3 = 9.
2. Вычислим 4²: 4 * 4 = 16.
3. Теперь сложим результаты: 9 + 16 = 25.
4. Вычислим 5²: 5 * 5 = 25.
5. Сравним: 25 = 25. Равенство верно.

б) 1³ + 6³ + 8³ = 9³

1. Вычислим 1³: 1 * 1 * 1 = 1.
2. Вычислим 6³: 6 * 6 * 6 = 216.
3. Вычислим 8³: 8 * 8 * 8 = 512.
4. Теперь сложим результаты: 1 + 216 + 512 = 729.
5. Вычислим 9³: 9 * 9 * 9 = 729.
6. Сравним: 729 = 729. Равенство верно.

в) 41² + 43² + 45² = 5555

1. Вычислим 41²: 41 * 41 = 1681.
2. Вычислим 43²: 43 * 43 = 1849.
3. Вычислим 45²: 45 * 45 = 2025.
4. Теперь сложим результаты: 1681 + 1849 + 2025 = 5555.
5. Сравним: 5555 = 5555. Равенство верно.

г) 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100

1. Вычислим 1³: 1 = 1.
2. Вычислим 2³: 2 * 2 * 2 = 8.
3. Вычислим 3³: 3 * 3 * 3 = 27.
4. Вычислим 4³: 4 * 4 * 4 = 64.
5. Теперь сложим результаты: 1 + 8 + 27 + 64 = 100.
6. Сравним: 100 = 100. Равенство верно.

д) 2³ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ = 1000

1. Вычислим 2³: 2 * 2 * 2 = 8.
2. Вычислим 2⁵: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
3. Вычислим 2⁶: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 64.
4. Вычислим 2⁷: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 128.
5. Вычислим 2⁸: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 256.
6. Вычислим 2⁹: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 512.
7. Теперь сложим результаты: 8 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1000.
8. Сравним: 1000 = 1000. Равенство верно.

е) 11³ + 12³ + 13³ + 14³ = 20³

1. Вычислим 11³: 11 * 11 * 11 = 1331.
2. Вычислим 12³: 12 * 12 * 12 = 1728.
3. Вычислим 13³: 13 * 13 * 13 = 2197.
4. Вычислим 14³: 14 * 14 * 14 = 2744.
5. Теперь сложим результаты: 1331 + 1728 + 2197 + 2744 = 8000.
6. Вычислим 20³: 20 * 20 * 20 = 8000.
7. Сравним: 8000 = 8000. Равенство верно.

Вывод: Все предложенные равенства верны.