Укажите такое натуральное значение n, при котором значение выражения √3n + 1 будет: a) натуральным; b) иррациональным числом.

Математика 7 класс Иррациональные числа и свойства корней натуральное значение n выражение √3n + 1 иррациональное число математика 7 класс решение уравнения Новый

Для решения данной задачи необходимо проанализировать выражение √(3n) + 1, где n – натуральное число. Мы будем рассматривать два случая: когда выражение является натуральным числом и когда оно является иррациональным числом.

a) Когда выражение √(3n) + 1 является натуральным числом:

Для того чтобы √(3n) + 1 было натуральным, необходимо, чтобы √(3n) было также натуральным числом. Это возможно только в том случае, если 3n является полным квадратом. Обозначим √(3n) = k, где k – натуральное число. Тогда:

• 3n = k²
• n = k² / 3

Поскольку n должно быть натуральным числом, k² должно делиться на 3. Это возможно, если k является кратным 3. Обозначим k = 3m, где m – натуральное число. Тогда:

• n = (3m)² / 3 = 3m²

Таким образом, n может принимать значения: 3, 12, 27 и так далее, в зависимости от m. Например, если m = 1, то n = 3; если m = 2, то n = 12.

b) Когда выражение √(3n) + 1 является иррациональным числом:

Для того чтобы √(3n) + 1 было иррациональным, необходимо, чтобы √(3n) само по себе было иррациональным. Это происходит в том случае, если 3n не является полным квадратом. Например, если n = 1, то:

• √(3*1) + 1 = √3 + 1, что является иррациональным числом.

Другие примеры, когда n не является полным квадратом:

• n = 2: √(3*2) + 1 = √6 + 1 (иррациональное число)
• n = 4: √(3*4) + 1 = √12 + 1 = 2√3 + 1 (иррациональное число)

Таким образом, в общем случае, любое натуральное значение n, при котором 3n не является полным квадратом, приведет к тому, что √(3n) + 1 будет иррациональным числом.

В заключение, можно сказать, что:

• Для натурального значения n, при котором √(3n) + 1 будет натуральным, n может быть равно 3, 12, 27 и т.д.
• Для иррационального значения √(3n) + 1, n может принимать любые натуральные значения, кроме тех, при которых 3n является полным квадратом (например, n = 1, 2, 4 и т.д.).