1. Является ли неравенство 69² - 45² больше, чем 68² - 44² верным?

2. Проведите сравнение:

• а) 5²⁰⁰ и 3³⁰⁰
• б) 44²⁰ и 4444¹⁰
• в) 31⁵ и 17⁷
• г) (3²⁰ + 1) / (3²¹ + 1) и (3²¹ + 1) / (3²² + 1)

Математика 8 класс Неравенства и сравнение чисел неравенство сравнение 69² - 45² 68² - 44² 5200 3³⁰⁰ 44²⁰ 4444¹⁰ 315 177 (3²⁰ + 1) (3²¹ + 1) (3²² + 1) Новый

Давайте разберем каждую из задач по порядку.

1. Является ли неравенство 69² - 45² больше, чем 68² - 44² верным?

Для начала, мы можем воспользоваться формулой разности квадратов, которая выглядит так:

a² - b² = (a - b)(a + b)

Применим эту формулу к нашему неравенству:

• 69² - 45² = (69 - 45)(69 + 45) = 24 * 114 = 2736
• 68² - 44² = (68 - 44)(68 + 44) = 24 * 112 = 2688

Теперь сравним полученные значения:

• 2736 > 2688

Таким образом, неравенство 69² - 45² > 68² - 44² является верным.

2. Проведите сравнение:

Теперь перейдем к сравнению различных выражений:

а) 5²⁰⁰ и 3³⁰⁰

Для удобства сравнения можно выразить оба числа через одну и ту же степень:

5²⁰⁰ = (5²)¹⁰⁰ = 25¹⁰⁰

3³⁰⁰ = (3³)¹⁰⁰ = 27¹⁰⁰

Теперь сравним 25 и 27. Поскольку 27 > 25, следовательно:

5²⁰⁰ < 3³⁰⁰.

б) 44²⁰ и 4444¹⁰

Сравним 44²⁰ и 4444¹⁰:

44²⁰ = (44²)¹⁰ = 1936¹⁰

Теперь сравним 1936 и 4444. Поскольку 4444 > 1936, следовательно:

44²⁰ < 4444¹⁰.

в) 31⁵ и 17⁷

Сравним 31⁵ и 17⁷:

Для этого можно привести их к одной степени. Например, возведем обе стороны в степень 1/5:

(31⁵)^(1/5) = 31 и (17⁷)^(1/5) = 17^(7/5) ≈ 17^(1.4) ≈ 25.7.

Поскольку 31 > 25.7, следовательно:

31⁵ > 17⁷.

г) (3²⁰ + 1) / (3²¹ + 1) и (3²¹ + 1) / (3²² + 1)

Обозначим A = (3²⁰ + 1) / (3²¹ + 1) и B = (3²¹ + 1) / (3²² + 1).

Можно заметить, что:

A = (3²⁰ + 1) / (3 * 3²⁰ + 1) = (1 + 1/3²⁰) / (3 + 1/3²⁰).

B = (3²¹ + 1) / (3 * 3²¹ + 1) = (1 + 1/3²¹) / (3 + 1/3²¹).

Теперь сравним A и B:

Сравнивая A и B, мы видим, что при увеличении степени дробь уменьшается, поскольку в числителе добавляется меньшее значение, чем в знаменателе. Следовательно:

A > B.

Таким образом, результаты сравнения:

• 1. 69² - 45² > 68² - 44²
• 2а. 5²⁰⁰ < 3³⁰⁰
• 2б. 44²⁰ < 4444¹⁰
• 2в. 31⁵ > 17⁷
• 2г. (3²⁰ + 1) / (3²¹ + 1) > (3²¹ + 1) / (3²² + 1)