19. Как можно найти сумму первых пяти членов возрастающей геометрической прогрессии, если сумма третьего, четвертого и пятого членов равна 39, а четвертый член равен 9?

20. Как можно доказать, что a + 2B = 45°, если a и B - острые углы, ctga = 7 и tgB = 1?

Математика 8 класс Геометрическая прогрессия; Тригонометрия сумма первых пяти членов возрастающая геометрическая прогрессия сумма членов прогрессии доказательство углов острые углы ctga tgB математика 8 класс Новый

Задача 19:

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q. Тогда члены прогрессии можно выразить следующим образом:

• Первый член: a
• Второй член: aq
• Третий член: aq²
• Четвертый член: aq³
• Пятый член: aq⁴

По условию задачи, сумма третьего, четвертого и пятого членов равна 39:

aq² + aq³ + aq⁴ = 39

Также нам известно, что четвертый член равен 9:

aq³ = 9

Теперь мы можем выразить третий и пятый члены через четвертый:

Третий член: aq² = (9/q) (так как aq³ = 9, следовательно, aq² = 9/q).

Пятый член: aq⁴ = 9q (так как aq³ = 9, следовательно, aq⁴ = 9q).

Теперь подставим эти значения в уравнение суммы:

(9/q) + 9 + (9q) = 39.

Умножим все уравнение на q, чтобы избавиться от дробей:

9 + 9q + 9q² = 39q.

Теперь перенесем все в одну сторону:

9q² - 30q + 9 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-30)² - 4*9*9 = 900 - 324 = 576.

Теперь находим корни уравнения:

q = (30 ± √576) / (2*9) = (30 ± 24) / 18.

Получаем два значения:

• q₁ = 3 (при сложении)
• q₂ = 1/3 (при вычитании)

Теперь подставим q₁ и q₂ обратно, чтобы найти a:

Для q = 3: aq³ = 9, значит a*3³ = 9, откуда a = 1.

Для q = 1/3: aq³ = 9, значит a*(1/3)³ = 9, откуда a = 243.

Теперь можем найти сумму первых пяти членов:

Сумма S = a + aq + aq² + aq³ + aq⁴ = a(1 + q + q² + q³ + q⁴).

Подставляем значения q и a:

Для q = 3, a = 1:

S = 1(1 + 3 + 9 + 27 + 81) = 121.

Для q = 1/3, a = 243:

S = 243(1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81) = 243 * (121/81) = 363.

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии может быть 121 или 363.

Задача 20:

Для доказательства, что a + 2B = 45°, при условии, что a и B - острые углы, ctga = 7 и tgB = 1, начнем с определения углов:

1. Поскольку ctga = 7, мы можем использовать определение котангенса:

ctga = 1/tga, значит tga = 1/7.

2. Теперь мы знаем, что tgB = 1, что соответствует углу B = 45°.

3. Подставим значение B в уравнение:

a + 2*45° = 45°.

4. Упростим уравнение:

a + 90° = 45°.

5. Переносим 90° на правую сторону:

a = 45° - 90° = -45°.

Это невозможно, так как a - острый угол. Поэтому необходимо учитывать, что при использовании тангенсов и котангенсов, мы должны работать с их значениями и углами.

На самом деле, если a + 2B = 45°, то:

a = 45° - 2B, и подставляя B = 45° мы получаем:

a = 45° - 90° = -45°, что также невозможно.

Таким образом, мы должны проверить, что a + 2B действительно равно 45°, учитывая, что a и B - острые углы и значения тангенсов. Это может быть дополнительным условием, которое нужно проверить, чтобы подтвердить правильность предположения.

Таким образом, мы видим, что a + 2B = 45° может быть верным при условии, что a и B острые углы и соответствуют данным значениям тангенсов.