Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Сначала нам нужно найти значение НОД(2n²; 2n²+3). Из условия нам дано, что:

• НОД(2n²; 2n²+3) = n² - 5 + 9.

Упростим правую часть:

• n² - 5 + 9 = n² + 4.

Теперь у нас есть равенство:

• НОД(2n²; 2n²+3) = n² + 4.

Согласно свойствам НОД, мы знаем, что НОД(a; b) = НОД(a; b - a). В нашем случае:

• НОД(2n²; 2n² + 3) = НОД(2n²; 3).

Теперь нам нужно найти НОД(2n²; 3). Поскольку 3 является простым числом, НОД(2n²; 3) может быть равен 1 или 3, в зависимости от того, делится ли 2n² на 3.

Если 2n² делится на 3, то НОД(2n²; 3) = 3, иначе НОД(2n²; 3) = 1.

Теперь сравним это с n² + 4:

• Если НОД(2n²; 3) = 3, то 3 = n² + 4, что не имеет натуральных решений.
• Если НОД(2n²; 3) = 1, то 1 = n² + 4, что также не имеет натуральных решений.

Таким образом, мы можем заключить, что 2n² не может делиться на 3, и тогда НОД(2n²; 3) = 1, что соответствует n² + 4 = 1. Это указывает на то, что n² = -3, что также невозможно для натурального числа n.

Теперь давайте рассмотрим НОК(n + 2; n + 5).

Мы знаем, что:

• НОК(a; b) = (a * b) / НОД(a; b).

В нашем случае:

• a = n + 2, b = n + 5.

Теперь найдем НОД(n + 2; n + 5):

• НОД(n + 2; n + 5) = НОД(n + 2; (n + 5) - (n + 2)) = НОД(n + 2; 3).

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

• Если n + 2 делится на 3, то НОД(n + 2; 3) = 3.
• Если n + 2 не делится на 3, то НОД(n + 2; 3) = 1.

Теперь подставим значения в формулу для НОК:

• Если НОД(n + 2; 3) = 3, то НОК(n + 2; n + 5) = ((n + 2) * (n + 5)) / 3.
• Если НОД(n + 2; 3) = 1, то НОК(n + 2; n + 5) = (n + 2) * (n + 5).

В зависимости от значения n, мы можем вычислить НОК(n + 2; n + 5) для конкретных натуральных чисел n.

Таким образом, ответ на задачу зависит от конкретного значения n и его делимости на 3.