Что такое корень числа?

Корень числа — это такое число x, которое при возведении в степень n даёт заданное число a. Формально: x в степени n равно a, то есть x^n = a. Если n = 2, говорят «квадратный корень», если n = 3 — «кубический корень» и т.д. Для чётной степени (например, 2) у положительного числа есть два действительных корня: положительный и отрицательный (например, ±sqrt(а)), а под «корнем» обычно подразумевают главный (неотрицательный) корень.

Какой корень у числа 10 (квадратный корень)?

Квадратный корень числа 10 — это число x, для которого выполняется x^2 = 10. Поскольку 3^2 = 9 и 4^2 = 16, получаем 3 < sqrt(10) < 4.

Найдём sqrt(10) приближённо методом Герона (итерационный способ):

1. Возьмём начальное приближение x0 = 3.
2. Вычислим x1 = (x0 + 10 / x0) / 2 = (3 + 10/3) / 2 = (3 + 3.333333...) / 2 ≈ 3.1666667.
3. Вычислим x2 = (x1 + 10 / x1) / 2 ≈ (3.1666667 + 3.1578947) / 2 ≈ 3.1622807.
4. Вычислим x3 = (x2 + 10 / x2) / 2 ≈ 3.16227766 (уже достаточно точно).

Итак, главный (положительный) квадратный корень числа 10 равен примерно 3.16227766. Учтите, что существует также отрицательный корень: −3.16227766.

Примечание. sqrt(10) — иррациональное число (его нельзя точно записать в виде дроби), потому что 10 не является полным квадратом целого числа.