Решение:

1. Поскольку $HX$ — перпендикуляр к медиане $AM$, то $HX$ является высотой треугольника $ABM$.

2. Точка пересечения высот треугольника является ортоцентром, поэтому $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$.

3. В треугольнике $AHB$ отрезок $XH$ является высотой и медианой, значит треугольник $AHB$ равнобедренный, $AH = HB$.

4. Медиана $AM$ треугольника $ABC$ делит его на два равновеликих треугольника, то есть $S{\Delta ABM} = S{\Delta ACM}$.

5. Треугольники $AHX$ и $AHM$ имеют общую высоту $HX$, опущенную из вершины прямого угла, следовательно, их площади относятся как основания: $S{AHX}:S{AHM}=HX:HM=1:2$.

6. Таким образом, $S{\Delta AHX}=\frac{1}{3}S{\Delta ABC}$, а так как $S{\Delta ABH}=S{\Delta BHC}=\frac{1}{2}S{\Delta ABC}$ (треугольник $AHB$ и $CHC$ равнобедренные), то $S{\Delta AXH}=\frac{2}{3}S_{\Delta ABC}$.

7. Значит, точки $B$, $C$, $H$, $X$ лежат на одной окружности с центром в точке $A$ и радиусом $R=\sqrt[3]{2S_{ABC}}$.

Объяснение:

Поскольку $HX$ перпендикулярно $AM$, это означает, что отрезок $HX$ образует прямой угол с отрезком $AM$. Это свойство перпендикулярности.

Далее мы используем свойства равнобедренного треугольника и теорему о равенстве площадей треугольников с равными высотами. Также мы применяем формулу площади треугольника через основание и высоту.

В итоге мы получаем, что точки $B$, $C$, $H$, $X$ образуют четырехугольник, вписанный в окружность с центром в точке $A$.