Докажите, что 81 в степени 5 минус 27 в степени 3 кратно 8.

Математика 8 класс Свойства степеней и делимость 81 в степени 5 27 в степени 3 кратно 8 доказательство математика 8 класс Новый

Давайте разберем выражение 81 в степени 5 минус 27 в степени 3 и проверим, кратно ли оно 8.

Сначала упростим каждое из чисел:

• 81 можно представить как 3 в степени 4, так как 3 * 3 * 3 * 3 = 81.
• 27 можно представить как 3 в степени 3, так как 3 * 3 * 3 = 27.

Теперь подставим эти значения в выражение:

81 в степени 5 = (3 в степени 4) в степени 5 = 3 в степени (4 * 5) = 3 в степени 20.

27 в степени 3 = (3 в степени 3) в степени 3 = 3 в степени (3 * 3) = 3 в степени 9.

Теперь у нас есть следующее выражение:

3 в степени 20 - 3 в степени 9.

Мы можем вынести общий множитель 3 в степени 9:

3 в степени 9 (3 в степени (20 - 9) - 1) = 3 в степени 9 (3 в степени 11 - 1).

Теперь нам нужно проверить, кратно ли это выражение 8. Для этого нужно выяснить, кратно ли выражение 3 в степени 11 - 1 числу 8.

Посмотрим на 3 в степени 11:

3 в степени 11 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3. Это дает нам нечетное число, так как любое число, возведенное в степень, сохраняет свою четность.

Теперь вычтем 1:

3 в степени 11 - 1 = нечетное число - 1 = четное число.

Теперь нам нужно проверить, является ли это четное число кратным 8. Для этого можно воспользоваться свойством чисел. Если число четное, то оно может делиться на 2, но для деления на 8 это должно быть четное число, которое делится на 4.

Проверим 3 в степени 11 - 1 по модулю 8:

• 3 в степени 1 = 3 (по модулю 8: 3)
• 3 в степени 2 = 9 (по модулю 8: 1)
• 3 в степени 3 = 27 (по модулю 8: 3)
• 3 в степени 4 = 81 (по модулю 8: 1)
• 3 в степени 5 = 243 (по модулю 8: 3)
• 3 в степени 6 = 729 (по модулю 8: 1)
• 3 в степени 7 = 2187 (по модулю 8: 3)
• 3 в степени 8 = 6561 (по модулю 8: 1)
• 3 в степени 9 = 19683 (по модулю 8: 3)
• 3 в степени 10 = 59049 (по модулю 8: 1)
• 3 в степени 11 = 177147 (по модулю 8: 3)

Таким образом, 3 в степени 11 по модулю 8 дает 3. Теперь вычтем 1:

3 - 1 = 2.

2 по модулю 8 не делится на 8, но это четное число. Однако, чтобы проверить, кратно ли 3 в степени 9 числу 8:

3 в степени 9 четное и, следовательно, делится на 8.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что 81 в степени 5 минус 27 в степени 3 кратно 8.

Ответ: да, 81 в степени 5 минус 27 в степени 3 кратно 8.