Чтобы доказать, что число, состоящее из двух тысяч семерок и заканчивающееся на единицу (то есть 777...771),является составным, мы можем использовать свойства делимости и разложение на множители.

Запишем это число более формально. Обозначим его как N:

N = 777...771, где 777...7 содержит 2000 семерок.

Мы можем представить это число в виде:

N = 7 * 10^(2000) + 7 * 10^(1999) + ... + 7 * 10^1 + 1.

Теперь выделим 7 из первых 2000 слагаемых:

N = 7 * (10^(2000) + 10^(1999) + ... + 10^1) + 1.

Теперь заметим, что сумма в скобках представляет собой геометрическую прогрессию, где первый член a = 10, последний член l = 10^(2000) и количество членов n = 2000. Сумма S такой прогрессии вычисляется по формуле:

S = a * (r^n - 1) / (r - 1),

где r - это основание прогрессии (в нашем случае r = 10).

Подставим значения:

• a = 10
• r = 10
• n = 2000

Тогда сумма будет равна:

S = 10 * (10^(2000) - 1) / (10 - 1) = 10 * (10^(2000) - 1) / 9.

Теперь подставим эту сумму обратно в выражение для N:

N = 7 * (10 * (10^(2000) - 1) / 9) + 1.

Упростим это:

N = (70 * (10^(2000) - 1) / 9) + 1.

Теперь мы видим, что N можно записать в виде:

N = (70 * (10^(2000) - 1) + 9) / 9.

Обратите внимание, что 10^(2000) - 1 делится на 9, поскольку 10 по модулю 9 равно 1. Таким образом, 10^(2000) - 1 также делится на 9.

Следовательно, N можно записать как:

N = (70 * k + 9) / 9, где k - целое число.

Теперь, чтобы показать, что N является составным, заметим, что N делится на 7, так как в его выражении присутствует множитель 7. Таким образом, N не является простым числом, так как оно имеет делители, отличные от 1 и самого себя.

Таким образом, мы доказали, что число 777...771 (содержит две тысячи семерок) является составным.