Докажите, что для любого целого числа n из множества Z, выражение 2n^3 + 7n + 3 делится на 3.

Математика 8 класс Кратность и делимость доказательство делимости целые числа выражение 2n^3 + 7n + 3 математика 8 класс делимость на 3 Новый

Чтобы доказать, что выражение 2n^3 + 7n + 3 делится на 3 для любого целого числа n, мы можем рассмотреть все возможные остатки от деления n на 3. Поскольку любое целое число n может быть представлено в виде:

• n = 3k, где k - целое число (остаток 0),
• n = 3k + 1 (остаток 1),
• n = 3k + 2 (остаток 2).

Теперь мы рассмотрим каждое из этих случаев отдельно:

1. Случай 1: n = 3k (остаток 0)

Подставим n в выражение:

2(3k)^3 + 7(3k) + 3 = 2(27k^3) + 21k + 3 = 54k^3 + 21k + 3.

Все слагаемые, кроме 3, делятся на 3, следовательно, сумма также делится на 3.

2. Случай 2: n = 3k + 1 (остаток 1)

Подставим n в выражение:

2(3k + 1)^3 + 7(3k + 1) + 3.

Рассчитаем:

• (3k + 1)^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1,
• 2(3k + 1)^3 = 54k^3 + 54k^2 + 18k + 2,
• 7(3k + 1) = 21k + 7.

Теперь сложим все слагаемые:

54k^3 + 54k^2 + 18k + 2 + 21k + 7 + 3 = 54k^3 + 54k^2 + 39k + 12.

Все слагаемые, кроме 12, делятся на 3, и 12 тоже делится на 3. Значит, сумма делится на 3.

3. Случай 3: n = 3k + 2 (остаток 2)

Подставим n в выражение:

2(3k + 2)^3 + 7(3k + 2) + 3.

Рассчитаем:

• (3k + 2)^3 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8,
• 2(3k + 2)^3 = 54k^3 + 108k^2 + 72k + 16,
• 7(3k + 2) = 21k + 14.

Теперь сложим все слагаемые:

54k^3 + 108k^2 + 72k + 16 + 21k + 14 + 3 = 54k^3 + 108k^2 + 93k + 33.

Все слагаемые, кроме 33, делятся на 3, и 33 тоже делится на 3. Значит, сумма делится на 3.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи для n, и в каждом случае выражение 2n^3 + 7n + 3 делится на 3. Это завершает наше доказательство.