Докажите, что многочлен p(x) = x^3 + 5x^2 + 3x - 1 делится на многочлен q(x) = 2x^2 + 8x - 2 без остатка.

Математика 8 класс Делимость многочленов многочлен Делимость доказательство p(x) Q(x) математика 8 класс алгебра деление многочленов Новый

Чтобы доказать, что многочлен p(x) = x^3 + 5x^2 + 3x - 1 делится на многочлен q(x) = 2x^2 + 8x - 2 без остатка, мы можем воспользоваться методом деления многочленов. Мы будем делить p(x) на q(x) и проверим, останется ли остаток.

Шаги решения:

1. Запишем многочлены:
• p(x) = x^3 + 5x^2 + 3x - 1
• q(x) = 2x^2 + 8x - 2
2. Начнем деление:

Мы будем делить p(x) на q(x). Для этого мы берем первый член p(x) и делим его на первый член q(x):

• Первый член p(x): x^3
• Первый член q(x): 2x^2
• Делим: x^3 / 2x^2 = (1/2)x
3. Умножим q(x) на (1/2)x:

Теперь умножим весь q(x) на (1/2)x:

• (1/2)x * (2x^2) = x^3
• (1/2)x * (8x) = 4x^2
• (1/2)x * (-2) = -x

Итак, (1/2)x * q(x) = x^3 + 4x^2 - x

4. Вычтем результат из p(x):

Теперь вычтем полученное произведение из p(x):

• p(x) - (x^3 + 4x^2 - x) = (x^3 + 5x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 4x^2 - x)
• Складываем подобные члены:
• 5x^2 - 4x^2 = x^2
• 3x + x = 4x
• Остаток: x^2 + 4x - 1
5. Продолжаем деление:

Теперь делим остаток x^2 + 4x - 1 на q(x):

• Первый член: x^2 / 2x^2 = 1/2
6. Умножим q(x) на 1/2:

Умножаем q(x) на 1/2:

• (1/2)(2x^2) = x^2
• (1/2)(8x) = 4x
• (1/2)(-2) = -1

Итак, (1/2) * q(x) = x^2 + 4x - 1

7. Вычтем снова:

Теперь вычтем это из x^2 + 4x - 1:

• (x^2 + 4x - 1) - (x^2 + 4x - 1) = 0

В результате мы получили, что остаток равен 0. Это значит, что многочлен p(x) делится на многочлен q(x) без остатка.

Вывод: Многочлен p(x) = x^3 + 5x^2 + 3x - 1 действительно делится на многочлен q(x) = 2x^2 + 8x - 2 без остатка.