Докажите, что сумма дробей от 1/1001 до 1/2000 больше 1/2.

Математика 8 класс Неравенства и дроби сумма дробей 1/1001 1/2000 больше 1/2 доказательство математика 8 класс дроби неравенство Новый

Для начала давайте запишем сумму дробей от 1/1001 до 1/2000. Эта сумма выглядит так:

S = 1/1001 + 1/1002 + 1/1003 + ... + 1/2000

Теперь определим количество слагаемых в этой сумме. Мы видим, что дроби начинаются с 1/1001 и заканчиваются на 1/2000. Чтобы найти количество слагаемых, вычтем 1000 из 2000 и добавим 1 (так как мы включаем оба конца):

Количество слагаемых = 2000 - 1001 + 1 = 1000

Теперь давайте оценим сумму S. Мы можем использовать неравенство, чтобы показать, что сумма дробей больше 1/2. Для этого заметим, что каждая дробь 1/n для n от 1001 до 2000 меньше 1/1000, так как 1000 меньше любого из этих значений n:

1/n < 1/1000 для всех n от 1001 до 2000

Теперь мы можем оценить сумму:

S < 1000 * (1/1000) = 1

Это не дает нам нужного результата, поэтому воспользуемся другим подходом. Мы можем заметить, что дроби убывают, и использовать неравенство для оценки суммы:

Для n от 1001 до 2000, каждая дробь 1/n больше 1/2000:

S > 1000 * (1/2000) = 1/2

Таким образом, мы получили, что сумма дробей S больше 1/2:

S > 1/2

Итак, мы доказали, что сумма дробей от 1/1001 до 1/2000 действительно больше 1/2.