Докажите тождество: 1 в квадрате + 2 в квадрате + ... + n в квадрате = 1/6 n(n + 1)(2n+1).

Математика 8 класс Суммы квадратов натуральных чисел тождество доказательство сумма квадратов математика 8 класс формула суммы квадратов Новый

Ответ и пошаговое объяснение:

Доказательство тождества 1 в квадрате + 2 в квадрате + ... + n в квадрате = 1/6 n(n + 1)(2n + 1) можно провести с помощью математической индукции. Математическая индукция — это метод, который позволяет доказать, что некое утверждение верно для всех натуральных чисел.

Шаг 1: Проверим базовый случай.

• Для n = 1:
  • Левая часть: 1^2 = 1.
  • Правая часть: 1/6 * 1 * (1 + 1) * (2 * 1 + 1) = 1/6 * 1 * 2 * 3 = 1.

  Таким образом, для n = 1 тождество верно.

Шаг 2: Предположим, что тождество верно для n = k, то есть:

1^2 + 2^2 + ... + k^2 = 1/6 k(k + 1)(2k + 1).

Шаг 3: Докажем, что оно верно для n = k + 1.

Добавим (k + 1)^2 к обеим частям уравнения:

1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k + 1)^2 = 1/6 k(k + 1)(2k + 1) + (k + 1)^2.

Теперь упростим правую часть:

1/6 k(k + 1)(2k + 1) + (k + 1)^2 = 1/6 k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2/6.

Приведем к общему знаменателю:

=(1/6) [k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2].

Вынесем (k + 1) за скобки:

=(k + 1)/6 [k(2k + 1) + 6(k + 1)].

Теперь упростим выражение в скобках:

k(2k + 1) + 6(k + 1) = 2k^2 + k + 6k + 6 = 2k^2 + 7k + 6.

Это можно записать как 2(k + 1)(k + 3).

Таким образом, мы получаем:

=(k + 1)/6 * 2(k + 1)(k + 3) = 1/6 (k + 1)(k + 1)(2(k + 1) + 1).

Теперь мы видим, что это соответствует правой части тождества для n = k + 1.

Шаг 4: Заключение.

Таким образом, мы доказали, что если тождество верно для n = k, то оно верно и для n = k + 1. Поскольку мы проверили базовый случай (n = 1), мы можем заключить, что тождество верно для всех натуральных чисел n.

Мы получили именно то, что и требовалось доказать.