Два человека играют в следующую игру. На столе находится 2025 спичек. Первый игрок может взять 5 или 8 спичек за ход, а второй игрок - 4 или 6 спичек. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто из игроков (начинающий или второй игрок) может гарантировать себе победу независимо от ходов соперника, и какие действия он должен предпринять для этого?

Математика 8 класс Игра с нулевой суммой математика 8 класс игра со спичками стратегия игры победа в игре анализ ходов комбинаторная игра теория игр условия победы оптимальная стратегия математическая логика Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать метод анализа выигрыша и проигрыша в играх с конечным числом ходов. Начнем с определения, какие позиции являются выигрышными, а какие - проигрышными для каждого игрока.

Определение позиций:

• Выигрышная позиция - это такая позиция, из которой игрок может сделать ход, переводящий противника в проигрышную позицию.
• Проигрышная позиция - это такая позиция, из которой любой возможный ход переводит противника в выигрышную позицию.

Теперь давайте проанализируем игру:

1. Начнем с позиции, когда на столе нет спичек. Это проигрышная позиция, так как игрок не может сделать ход.

2. Далее, если на столе 1, 2, 3, или 4 спички, то игрок может взять спички так, чтобы оставить противнику 0 спичек (например, взять 1 спичку, если 1 спичка на столе). Эти позиции являются выигрышными.

3. Если на столе 5 спичек, первый игрок может взять 5 спичек и выиграть. Это выигрышная позиция.

4. Если на столе 6 спичек, первый игрок может взять 5 спичек, оставив 1 спичку противнику, или взять 6 спичек и выиграть. Это также выигрышная позиция.

5. Если на столе 7 спичек, первый игрок может взять 5 или 6 спичек, оставляя противнику 2 или 1 спичку, что является выигрышной позицией. Это выигрышная позиция.

6. Если на столе 8 спичек, первый игрок может взять 8 спичек и выиграть. Это выигрышная позиция.

7. Если на столе 9 спичек, первый игрок может взять 5 или 8 спичек, оставляя противнику 4 или 1 спичку, что является выигрышной позицией. Это выигрышная позиция.

8. Если на столе 10 спичек, первый игрок может взять 6 спичек, оставляя противнику 4 спички, что является выигрышной позицией. Это выигрышная позиция.

9. Если на столе 11 спичек, первый игрок может взять 5 или 6 спичек, оставляя противнику 6 или 5 спичек, что является выигрышной позицией. Это выигрышная позиция.

10. Если на столе 12 спичек, первый игрок может взять 8 спичек, оставляя противнику 4 спички, что является выигрышной позицией. Это выигрышная позиция.

Теперь мы видим, что при 12 спичках позиция выигрышная, но если на столе 13 спичек, то любой ход оставляет противнику выигрышные позиции (9, 10, 11, 12). Это проигрышная позиция.

Давайте продолжим этот анализ до 2025 спичек, но заметим паттерн:

Каждый раз, когда количество спичек на столе кратно 13 (0, 13, 26, 39 и т.д.), это проигрышная позиция для первого игрока.

Теперь, когда у нас есть 2025 спичек, мы можем проверить:

2025 делится на 13, и мы можем найти остаток от деления:

2025 % 13 = 10. Это значит, что 2025 - это не кратное 13 число, и позиция выигрышная для первого игрока.

Вывод:

Первый игрок может гарантировать себе победу, если будет следовать стратегии, которая оставляет второму игроку позиции, кратные 13. В частности, он должен стараться оставить на столе 2013, 2000, 1987 спичек и так далее, при этом выбирая правильное количество спичек (5 или 8) в каждом ходе.