2025-09-02 20:35:49
Исследуй функцию y = -x^3 + 3x^2 и найди уравнение касательной к графику этой функции, если абсцисса точки касания равна 3. Построй график кубической функции и касательной к ней.
Математика 8 класс Касательные и нормали к графикам функций функция y = -x^3 + 3x^2 Уравнение касательной график кубической функции абсцисса точки касания исследование функции построение графика
2025-09-02 20:36:05
Чтобы найти уравнение касательной к графику функции y = -x^3 + 3x^2 в точке, где абсцисса равна 3, мы будем следовать нескольким шагам:
- Найдем значение функции в точке x = 3.
- Подставим x = 3 в уравнение функции:
- y = -3^3 + 3 * 3^2 = -27 + 27 = 0.
- Таким образом, точка касания имеет координаты (3, 0).
- Найдем производную функции для определения углового коэффициента касательной.
- Производная функции y = -x^3 + 3x^2 равна:
- y' = -3x^2 + 6x.
- Теперь подставим x = 3 в производную:
- y'(3) = -3 * 3^2 + 6 * 3 = -27 + 18 = -9.
- Угловой коэффициент касательной в точке (3, 0) равен -9.
- Запишем уравнение касательной.
- Уравнение касательной можно записать в виде:
- y - y0 = m(x - x0),
- где (x0, y0) - точка касания, m - угловой коэффициент.
- Подставляем значения: (x0, y0) = (3, 0) и m = -9:
- y - 0 = -9(x - 3),
- или, упростив, y = -9x + 27.
Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = -x^3 + 3x^2 в точке с абсциссой 3 равно y = -9x + 27.
Теперь, чтобы построить график функции и касательной, мы можем сделать следующее:
- Построим график функции y = -x^3 + 3x^2. Это кубическая функция, которая имеет характерный вид с одним локальным максимумом и одним локальным минимумом.
- Построим график касательной y = -9x + 27. Это линейная функция, которая будет пересекаться с графиком кубической функции в точке (3, 0).
Для построения графиков можно использовать графические калькуляторы или программное обеспечение, такое как GeoGebra или Desmos, где вы можете ввести обе функции и увидеть их пересечение.