Из палочек длиной 1 см выложили контур прямоугольника так, что его периметр (в сантиметрах) оказался на пять меньше площади (в квадратных сантиметрах). Сколько палочек было использовано? Укажите все возможные варианты. Палочки нельзя ломать!

Математика 8 класс Периметр и площадь фигуры математика периметр площадь прямоугольник задача палочки решение условия варианты длина ширина уравнение Новый

Давайте обозначим длину прямоугольника как a, а ширину как b. Мы знаем, что:

• Периметр прямоугольника P = 2(a + b)
• Площадь прямоугольника S = a * b

Условие задачи гласит, что периметр на пять меньше площади:

P = S - 5

Подставим формулы для периметра и площади в это уравнение:

2(a + b) = ab - 5

Теперь упростим уравнение:

ab - 2a - 2b - 5 = 0

Это уравнение можно переписать в виде:

ab - 2a - 2b = 5

Чтобы решить это уравнение, можно выразить b через a:

b = (2a + 5) / (a - 2)

Теперь нам нужно, чтобы b была натуральным числом. Для этого (2a + 5) должно быть кратно (a - 2).

Давайте рассмотрим различные целые значения для a и найдем соответствующие b:

1. a = 3:
   • b = (2*3 + 5) / (3 - 2) = 11
2. a = 4:
   • b = (2*4 + 5) / (4 - 2) = 13/2 (не подходит)
3. a = 5:
   • b = (2*5 + 5) / (5 - 2) = 15/3 = 5
4. a = 6:
   • b = (2*6 + 5) / (6 - 2) = 17/4 (не подходит)
5. a = 7:
   • b = (2*7 + 5) / (7 - 2) = 19/5 (не подходит)
6. a = 8:
   • b = (2*8 + 5) / (8 - 2) = 21/6 (не подходит)
7. a = 9:
   • b = (2*9 + 5) / (9 - 2) = 23/7 (не подходит)
8. a = 10:
   • b = (2*10 + 5) / (10 - 2) = 25/8 (не подходит)

Таким образом, мы нашли два подходящих решения:

• a = 3, b = 11
• a = 5, b = 5

Теперь посчитаем, сколько палочек было использовано для каждого случая:

• Для a = 3 и b = 11:
  • Периметр = 2(3 + 11) = 28 см
  • Использовано палочек = 28
• Для a = 5 и b = 5:
  • Периметр = 2(5 + 5) = 20 см
  • Использовано палочек = 20

Таким образом, возможные варианты использования палочек:

• 28 палочек
• 20 палочек