Из точки М к окружности с центром О проведены две касательные МА и МВ. Какое расстояние между точками касания А и В, если угол АОВ равен 120 градусов, а расстояние МО составляет 14?

Математика 8 класс Касательные к окружности математика 8 класс задача на касательные угол АОВ расстояние между касаниями окружность с центром О геометрия 8 класс Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть окружность с центром O и точка M, из которой проведены две касательные MA и MB. Мы знаем, что угол AOB равен 120 градусов и расстояние от точки M до центра окружности O составляет 14 единиц.

Для начала, вспомним, что касательные к окружности из одной точки (в нашем случае из точки M) равны. То есть, MA = MB. Это свойство нам поможет в дальнейшем.

Теперь давайте рассмотрим треугольник AOB. У нас есть:

• Угол AOB = 120 градусов.
• MO = 14 (это расстояние от точки M до центра окружности O).

Теперь, чтобы найти расстояние между точками касания A и B, нам нужно найти длину отрезка AB. Для этого мы воспользуемся свойствами треугольника AOB.

В треугольнике AOB мы можем использовать закон косинусов. Сначала найдем длины сторон OA и OB. Поскольку MA и MB являются касательными, то они перпендикулярны радиусам OA и OB в точках касания A и B соответственно. Таким образом, OA и OB равны радиусу окружности, который мы обозначим как r. Но для нахождения расстояния AB нам нужно будет знать длины OA и OB.

Используя закон косинусов, мы можем записать:

AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 * OA * OB * cos(AOB)

Поскольку OA = OB = r, подставим это в уравнение:

AB^2 = r^2 + r^2 - 2 * r * r * cos(120°)

Значение cos(120°) равно -0.5. Подставим это значение:

AB^2 = 2r^2 - 2r^2 * (-0.5) = 2r^2 + r^2 = 3r^2

Теперь, чтобы найти AB, нам нужно взять корень из 3r^2:

AB = √(3) * r

Теперь нам нужно найти радиус r. Мы знаем, что MO = 14 и угол AOB = 120°. В треугольнике OMA (или OMB) по теореме Пифагора у нас есть:

MA^2 + OA^2 = MO^2

MA^2 + r^2 = 14^2

MA^2 + r^2 = 196

Так как MA = MB и мы знаем, что MA = √(3) * r, подставим это значение:

(√(3) * r)^2 + r^2 = 196

3r^2 + r^2 = 196

4r^2 = 196

r^2 = 49

r = 7

Теперь подставим значение r в формулу для AB:

AB = √(3) * 7 = 7√(3)

Таким образом, расстояние между точками касания A и B равно 7√(3).

В заключение, если вам нужно знать значение в числовом виде, то 7√(3) примерно равно 12.12 единиц.