2026-01-19 19:59:52
Как изменится сумма 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n, если мы уменьшим знаменатели всех дробей на единицу?
A) увеличится на 1/n
B) уменьшится на 1/(n-1)
C) увеличится на (n-1)/n
D) уменьшится на (n-1)/n
E) увеличится на n/(n-1)
Математика 8 класс Суммы дробей и их свойства сумма дробей изменение суммы математика 8 класс дроби знаменатели дробей математические выражения последовательности дробей
2026-01-19 20:00:09
Рассмотрим сумму S(n) = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n. Мы хотим выяснить, как изменится эта сумма, если мы уменьшим знаменатели всех дробей на единицу, то есть рассмотрим новую сумму S'(n) = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(n-1).
Теперь давайте выразим разницу между новой и старой суммой:
Разница = S'(n) - S(n)Подставим выражения для S'(n) и S(n):
Разница = (1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(n-1)) - (1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n)Теперь мы можем упростить это выражение. Увидим, что все члены, начиная с 1/2 до 1/(n-1), сокращаются:
- 1/2 сокращается с 1/2
- 1/3 сокращается с 1/3
- ...
- 1/(n-1) сокращается с 1/(n-1)
Остается только первый член из S'(n) и последний член из S(n):
Разница = 1/1 - 1/nТеперь упростим эту разницу:
Разница = 1 - 1/nЧтобы привести это к общему знаменателю, мы можем записать:
Разница = (n - 1)/nТаким образом, мы видим, что сумма увеличится на (n - 1)/n.
Ответ: C) увеличится на (n-1)/n.